\begin{questions}
\item \textit{Faux}. À première vue, on pourrait penser que l'affirmation est vraie car $x=1$ est une valeur interdite. Mais \og 1 \fg{} est une racine évidente de $2x^2-5x+3$, donc ce polynôme se factorise par $(x-1)$:
\[
2x^2-5x+3 = (x-1)(2x-3).
\]
Ainsi, pour tout réel $x\neq1$, $f(x)=2x-3$ et $\lim\limits_{x\to1}f(x)=-1$. Par conséquent, la courbe représentative de $f$ n'admet pas d'asymptote verticale en $x=1$ (car sa limite n'est pas infinie).

\item \textit{Vrai}. En effet, on peut écrire:
\[
g(x)=\dfrac{\sqrt{\nep^{2x}+x}}{3-\nep^x} = \dfrac{\sqrt{\nep^{2x}\big(1+x\nep^{-2x}\big)}}{\nep^x\big(3\nep^{-x}-1\big)} = \dfrac{\cancel{\nep^{x}}\sqrt{1+x\nep^{-2x}}}{\cancel{\nep^x}\big(3\nep^{-x}-1\big)}.
\]
Or, $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(x\nep^{-x}\big)=0$ (croissance comparée) donc:
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}\big(x\nep^{-2x}\big)=\lim\limits_{x\to+\infty}\big(x\nep^{-x}\times\nep^{-x}\big)=0.
\]
Alors,

$\left.
\begin{array}{r}
\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{1+x\nep^{-2x}}=1\\
\lim\limits_{x\to+\infty}\big(3\nep^{-x}-1\big)=-1
\end{array}\right\rbrace\Rightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-1
$ (par quotient).

La droite d'équation $y=-1$ est donc une asymptote à la courbe de $g$.
\end{questions}
