On utilise dans cet exercice la méthode dite de {\it l'expression conjuguée}.
\begin{questions}
\item  Quel que soit $x$, tel que $x+1>0$ et $x-1>0$, c'est-à-dire pour tout $x > 1$ :
\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}} & = \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\big(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\big)\big(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\big)}\\[8pt]
& = \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{(x+1)-(x-1)}\\[8pt]
& =  \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{2}.
\end{align*}
De plus,
\[
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x+1} = \lim_{x\to+\infty}\sqrt{x-1} = +\infty
\]
donc :
\[
\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}=+\infty.
\]

\item  Pour tout $x>1$,
\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}}
&=\frac{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}{\big(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}\big)\big(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}\big)}\\[10pt]
&=\frac{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2-x}}{(x^2+x)-(x^2-x)} \\[10pt]
&= \frac{\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}+\sqrt{x^2\left(1-\dfrac{1}{x}\right)}}{2x} \\[10pt]
&= \frac{|x| \left( \sqrt{1+\dfrac{1}{x}} + \sqrt{1-\dfrac{1}{x}} \right)}{2x}.
\end{align*}
Or, quand $x > 0$, $\dfrac{|x|}{x}= 1$ donc, pour $x>1$ :
\[
\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}}
= \frac{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}}{2}.
\]
Enfin :
\[
\lim_{x \to +\infty} \sqrt{1+\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +\infty}         \sqrt{1-\frac{1}{x}} = 1\;,\]
d'où :
\[
\lim_{x\to+\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}}\right) = 1.
\]
\end{questions}
