Utilisons l'expression conjuguée pour lever l'indétermination rencontrée, du type \og $\infty-\infty$ \fg:
\begin{align*}
\sqrt{4x^2+2x+1}-2x & = \dfrac{\big(\sqrt{4x^2+2x+1}-2x\big)\big(\sqrt{4x^2+2x+1}+2x\big)}{\sqrt{4x^2+2x+1}+2x}\\
& = \dfrac{4x^2+2x+1-4x^2}{\sqrt{4x^2+2x+1}+2x}\\
& = \dfrac{2x+1}{\sqrt{4x^2+2x+1}+2x}.
\end{align*}
À ce stade, nous avons encore une indétermination, du type \og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg, mais pas de panique! Nous allons la lever en factorisant au numérateur et au dénominateur par le terme de plus haut degré. Pour $x>0$, on a:
\begin{align*}
\dfrac{2x+1}{\sqrt{4x^2+2x+1}+2x} & = \dfrac{x\left(2+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{4x^2\left(1+\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^2}\right)}+2x}\\
& = \dfrac{x\left(2+\frac{1}{x}\right)}{2x\sqrt{1+\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^2}}+2x}\\
& = \dfrac{\cancel{x}\left(2+\frac{1}{x}\right)}{2\cancel{x}\left[\sqrt{1+\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^2}}+1\right]}\\
\end{align*}
\[
\left.
\begin{array}{r}
\lim\limits_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{x}\right)=2\\[8pt]
\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\sqrt{1+\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^2}}+1\right]=2
\end{array}
\right\rbrace\Rightarrow \lim\limits_{x\to+\infty}\big(\sqrt{4x^2+2x+1}-2x\big)=\dfrac{1}{2}.
\]
