\subsectionnn{Partie A}

\begin{questions}
\item Il s'est passée une heure entre l'instant de l'ingestion du médicament et l'instant où la concentration de médicament dans le sang est maximale selon ce modèle. En effet, le maximum de la fonction est atteint pour $t=1$.

\item $f(t) \geqslant 1 \iff t \in [0,25 ; 2,5]$.

\item La convexité de la fonction $f$ sur l' intervalle [0~;~8]:
\begin{itemize}
\item $f$ semble \textit{concave} sur $[0;2]$;
\item $f$ semble \textit{convexe} sur $[2;8]$.
\end{itemize}
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item On peut écrire $f(t)$ sous la forme: $f(t)=5 \times \dfrac{t}{\nep^t}$. Or, par croissance comparée, $\lim\limits_{t\to+\infty} \dfrac{t}{\nep^t}=0$. Par conséquent, $\lim\limits_{t\to+\infty} f(t)=0$.

Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que la concentration de médicament dans le sang tend à disparaître au fil du temps.

\item Pour étudier les variations de $f$, nous pouvons déterminer le signe de sa dérivée. $f = u \times v$ avec:
\[
\begin{array}{lll}
u(t) = 5t & \qquad & u'(t)=5\\
v(t)=\nep^{-t} & \qquad & v'(t) = -\nep^{-t}
\end{array}
\]
D'où:
\begin{align*}
f'(t) & = (u'v + uv')(t)\\
      & = 5\nep^{-t} - 5t\nep^{-t}\\
      & = 5(1-t)\nep^{-t}.
\end{align*}
$f'(t)$ est du signe de $(1-t)$ car $5>0$ et $\nep^{-t}>0$.
\begin{align*}
f'(t) \geqslant 0 & \iff 1-t\geqslant0\\
& \iff t \leqslant 1.
\end{align*}
On en déduit le tableau suivant:
\[
\begin{array}{|C|lcccr|}
\hline\tabulartitle
t    & 0 &   & 1 &  &+\infty\\
\hline
f'(t)&   & + & 0 & - & \\
\hline
     &   &          & 5\nep^{-1\strut}  & & \\
f(t)    &   & \nearrow & & \searrow &  \\
     & 0 &          & &          & 0 \\
\hline
\end{array}
\quad
\begin{array}{l}
f(1) = 5 \times 1 \times \nep^{-1}
\end{array}
\]

%\item
%\begin{itemize}
%\item Sur $[0;1]$, $f$ est continue et strictement croissante. De plus, $f(0)=0$ et $f(1)=5\nep^{-1}\approx1,8$ donc  $1 \in ] f(0); f(1) [$.
%
%Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur $t_1\in]0;1[$ pour laquelle $f(t_1)=1$.
%
%\item Par un raisonnement analogue sur $[1;+\infty[$, $1\in\big]0;5\nep^{-1}\big[=f\big( ]1;+\infty[ \big)$ donc il existe une unique valeur $t_2\in]1;+\infty[$ telle que $f(t_2)=1$.
%\end{itemize}
%À la calculatrice, on trouve: $t_1\approx0,25$ et $t_2\approx2,54$.

%\item D'après les variations de $f$, $f(t) \geqslant 1$ lorsque $0,25 \leqslant t \leqslant 2,54$.
%\[
%2,54-0,25=2,29.
%\]
%La durée de risque de somnolence est donc égale à 2,23 heures, soit:
%\[
%2\text{ h }+0,29\times60\text{ min} = 2\text{ h }17\text{ min}.
%\]

\end{questions}
