\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1,0){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTMch03exo15}}}
\rput(-0.5,-1.1){\PictoNathanLive[Video]}
\vspace*{-5mm}
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item D'après les limites du cours, on a $\lim\limits_{x\to -\infty}\nep^x =0$.
Il en résulte que :
\[ \lim_{x\to -\infty}f(x) =0. \]

\item On a :
\[
\lim_{x\to +\infty}f(x) =\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\nep^{-x}+1} =1.
\]
\begin{methode}
Pour lever une indétermination du type \og infini sur infini \fg, on factorise le terme dominant au numérateur et au dénominateur puis on simplifie.\par
On a donc factorisé les deux termes du quotient par $\nep^x$ puis on a simplifié par $\nep^x$.
\end{methode}

\item Comme $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x) = 1$, on en déduit que la droite d'équation $y=1$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $+\infty$.

De même, comme $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) =0$, on en déduit que la droite d'équation $y=0$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de $-\infty$.
\end{questions}

\item
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme quotient de deux fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\R$.\\
Pour tout réel $x$,
\[
f'(x)=\dfrac{\nep^x\left(1+\nep^x\right)-\nep^x\left(\nep^x\right)}{\left(1+\nep^x\right)^2}
\]
soit, après avoir effectué les produits et simplifié,
\[
f'(x)=\dfrac{\nep^x}{\left(1+\nep^x\right)^2}.
\]
On en déduit que, pour tout réel $x$, $f'(x)>0$, et, par conséquent, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.

\item

\begin{questions}
\item La tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point K a pour équation :
\[y=f'(0)x+f(0)\;,\]
soit $y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}$.

\item La position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $\mathcal{T}$ est donnée par le signe de la différence $f(x)-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)$ soit le signe de :

\[
f(x)-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\nep^x}{1+\nep^x}-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right).
\]

En réduisant au même dénominateur, on obtient :

\[
f(x)-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2\nep^x-x-x\nep^x-2}{4\left(1+\nep^x\right)}.
\]

Le dénominateur de $f(x)-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)$ étant strictement positif sur $\R$, $f(x)-\left(\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)$ est du signe de son numérateur soit $g(x)$.

\item La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ d'après les opérations sur les fonctions dérivables et, pour tout réel $x$, on a :
\[
g'(x)=2\nep^x-\nep^x-x\nep^x-1=\nep^x - x\nep^x - 1.
\]
La fonction $g'$ est aussi dérivable sur $\R$ d'après les opérations sur les fonctions dérivables et, pour tout réel $x$, on a :
\[
g''(x)=-x\nep^x.
\]

\item
La quantité $g''(x)$ est du signe contraire de $x$ donc elle est positive sur $\left]-\infty~;0\right]$ et négative sur $\left[0~;+\infty\right[$\\
On en déduit que la fonction $g'$ est croissante sur $\left]-\infty~;0\right]$ et décroissante sur $\left[0~;+\infty\right[$\\
Or, $g'(0)=0$. Donc la fonction $g$ admet un maximum en 0 et ce maximum vaut 0. On peut donc en déduire que $g'$ est négative sur $\R$ et ne s'annule qu'en 0.\\
Il en résulte que la fonction $g$ est strictement décroissante sur $\R$. Or, $g(0)=0$. On peut donc en déduire que $g$ est positive sur $\left]-\infty~;0\right]$ et négative sur $\left[0~;+\infty\right[$.

\item
D'après les résultats des trois questions précédentes, on peut conclure :\\
La courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de sa tangente $\mathcal{T}$ sur $\left]-\infty~;0\right]$ et en dessous sur $\left[0~;+\infty\right[$.

\end{questions}

\item
La courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{T}$ sont représentées sur le graphique ci-dessous.
\begin{center}
\includegraphics{102_continuite-fig15}
\end{center}
\end{questions}
