\begin{questions}
\item \textit{Vrai}. On a :
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} (-x^2) =0$.
\item $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (x^2+1)=1$.
\end{itemize}
Les deux limites n'étant pas égales, $f$ n'admet pas de limite en 0.

\item \textit{Faux}. D'après la question précédente, $f$ n'est pas continue en 0 donc elle n'est pas dérivable en 0 (voir chapitre suivant).

\item \textit{Vrai}. En effet,
\begin{itemize}
\item si $x<0$, $f'(x)=-2x$ donc $f'$ est strictement positive sur $]-\infty~;0[$;
\item si $x>0$, $f'(x)=2x$ donc $f'$ est strictement positive sur $]0~;+\infty[$.
\end{itemize}
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0~;+\infty[$ et sur\linebreak $]-\infty~;0[$.

De plus, pour tout $x$ non nul, $-x^2<1<x^2+1$, donc si $x < 0$, on a $f(x) <f(0)$  et si $x > 0$, on a aussi $f(0)< f(x)$. Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur $\R$.

\item \textit{Faux}. L'équation $f(x) = a$ n'admet aucune solution pour $a$ appartenant à l'intervalle $[0~;1[$.
\end{questions}
