\begin{questions}
\item La fonction $f$ est une fonction rationnelle, donc est dérivable sur son ensemble de définition. Or, pour tout réel $x$, on a $x^2+1>0$, de sorte que $\mathscr{D}_f=\R$. Alors $f$ est définie et dérivable sur $\R$ tout entier.

Pour calculer la dérivée de $f$, on applique la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$
avec :
\[
u(x)=3x^3-6x+5 \quad \text{et} \quad v(x)=x^2+1.
\]
D'où :
\[
u'(x)=9x^2-6 \quad \text{et} \quad v'(x)=2x.
\]
Ainsi, pour tout réel $x$ :
\begin{align*}
f'(x) & =\dfrac{(9x^2-6)(x^2+1)-2x(3x^3-6x+5)}{(x^2+1)^2}\\
& = \dfrac{3x^4+15x^2-10x-6}{(x^2+1)^2}.
\end{align*}

\item La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ comme composée d'une fonction polynôme et d'une fonction puissance. On a :
\[
g'(x) = 3(20x^3-4x+1)(5x^4- 2x^2 +x)^2.
\]


\item La fonction $h$ est définie sur $\R$ car le dénominateur ne s'annule jamais. La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ comme composée d'une fonction rationnelle et d'une fonction puissance.
\begin{align*}
h'(x) & = 4 \left( \dfrac{2x^2-5x+1}{x^2+1} \right)^3
        \left(\dfrac{(4x-5)(x^2+1)-(2x^2-5x+1)(2x)}{(x^2+1)^2}\right) \\
&= 4 \left( \dfrac{2x^2-5x+1}{x^2+1} \right)^3 \left(\dfrac{5x^2+2x-5}{(x^2+1)^2}\right) \\
&= \dfrac{4(2x^2-5x+1)^3(5x^2+2x-5)}{(x^2+1)^5}.
\end{align*}

\begin{Remarque}
sous cette forme, on pourra trouver le signe de $h'(x)$, ce qui est le but quand on calcule une dérivée.
\end{Remarque}


\item  La fonction $x \mapsto x^2+1$ est dérivable sur $\R$ et est à valeurs dans $\left[1~;+\infty\right[$, donc dans $\R^*_+$. Or, $x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $\R^*_+$. Donc $x \mapsto \sqrt{x^2+1}$ est dérivable sur $\R$.

Par ailleurs, cette dernière fonction est à valeurs dans $\R^*_+$.

Donc $x \mapsto \sqrt{\sqrt{x^2+1}}$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.

Posons $G(x)=\sqrt{x^2+1}$.

Alors :
\[
G'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.
\]
Or, $\ell=\sqrt{G}$, donc
$\ell'(x)=\dfrac{G'(x)}{2\sqrt{G(x)}}$.
\par
Soit :
\[
\ell'(x)=\frac{x}{2 \sqrt{x^2+1}\sqrt{\sqrt{x^2+1}}}.
\]
\end{questions}
