\subsectionnn{Partie A}

\begin{questions}
\item On trace sur le graphique donné la droite d'équation $y = \numprint{2000}$.

Il y a \numprint{2000} malades au dixième jour, et environ au vingt-septième jour.

\item Le nombre de malades est maximal le vingtième jour, et il atteint \numprint{4000}.

\item La vitesse de propagation est la plus grande quand la pente de la tangente à la courbe est la plus élevée, puisque la vitesse de propagation est assimilée au nombre dérivé. On cherche en fait le point d'inflexion.

Il semble que ce soit aux alentours de $t = 10$, en tout cas entre 7 et 12.
\end{questions}


\subsectionnn{Partie B}

\begin{questions}
\item Pour tout $t\in I$, $f '(t) = -3t^2 +60t = -3t(t - 20)$.

$f '(t)$ est un trinôme du second degré qui s'annule pour $t = 0$ et $t = 20$, et il est négatif à  l'extérieur des racines car le coefficient de $t^2$ est négatif. On obtient donc, sur $[0\,; 30]$ :

\[
\begin{array}{|R|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
x & 0 &  & 20 &  & 30\\
\hline
f'(t) &  & + & 0 & - & \\
\hline
  & & & \numprint{4000} &  & \\
  f(t) &  & \nearrow &  & \searrow &  \\
  & 0 &  &  &  & 0\\
  \hline
\end{array}
\]

\item
\begin{questions}
\item $f$ est une fonction polynôme donc continue.

Sur $[0\, ; 20]$, $f$ est strictement croissante et \numprint{2000} appartient à\linebreak $\big[f(0)\,;f(20)\big]$, donc d'après le théorème de la bijection, l'équation \mbox{$f(x) = \numprint{2000}$} admet une unique solution sur $[0\, ; 20]$.

Sur $[20\, ; 30]$, $f$ est strictement décroissante et \numprint{2000} appartient à $\big[f(30)\, ; f(20)\big]$, donc d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x) = \numprint{2000}$ admet une unique solution sur $[20\, ; 30]$.

Finalement, sur $[0\, ; 30]$, l'équation $f(x) = \numprint{2000}$ admet exactement deux solutions.

\item Vérifions que $f(10) = \numprint{2000}$ :

$f(10) = -\numprint{1000} + \numprint{3000} = \numprint{2000}$, donc la plus petite solution de l'équation $f(x) = \numprint{2000}$ est 10, et elle est entière.

$f(27) = \numprint{2187}$ et $f(28) = \numprint{1568}$, par conséquent, d'après le théorème utilisé précédemment, la solution non entière est comprise entre 27 et 28, ce qui confirme notre lecture graphique.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $f''(t) = -6t + 60 = -6(t-10)$.
\item $f''(t) > 0 \iff t < 10$, donc $f '$ est croissante sur $[0\, ; 10]$ et décroissante sur $[10\, ; 30]$.

$f$ est donc convexe sur $[0\, ; 10]$ et concave sur $[10;30]$.

\item D'après ce qui précède, le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 10 est point d'inflexion.

\item  Avant $x = 10$, la dérivée est croissante, ce qui signifie que la vitesse de propagation de la maladie augmente, alors qu'après, cette vitesse diminue (même si le nombre de malades continue à augmenter jusqu'à $t = 20$). Donc 10 jours après le début de la maladie est le moment où l'épidémie commence à ralentir.

\item $f '(10) = 300$.

On peut traduire cela par le fait qu'à ce moment là, il y a 300 malades supplémentaires chaque jour.
\end{questions}
\end{questions}
