\begin{questions}
\item $1-\ln x>0$ pour $x<\nep$ et $x>0$. Par conséquent, $f(x)>0$ pour $0<x<\nep$, $f(\nep)=0$ et $f(x)<0$ pour $x>\nep$.

\item
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{x\to0} x\ln x=0$ (croissance comparée) donc :
\[
\lim\limits_{x\to0} f(x)=\lim\limits_{x\to0} (x-x\ln x)=0.
\]

\item $\lim\limits_{x\to+\infty}(1-\ln x)=-\infty$ donc :
\[
\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\big[x(1-\ln x)\big]=-\infty.
\]
\end{itemize}

\item $f'(x)=1\times(1-\ln x)+x\times\left(-\dfrac{1}{x}\right)=-\ln x$.

On obtient alors le tableau de variation suivant :

\[
\begin{array}{|C|*6{c}|}
\hline\tabulartitle
x & 0 & &  & 1 &  & +\infty\\
\hline
f'(x) & \dvline & & + & 0 & - & \\
\hline
      & \dvline & &  & 1  &    & \\
 f(x) & \dvline & & \nearrow& & \searrow & \\
      & \dvline & 0&         & &          & -\infty\\
\hline
\end{array}
\]

\item
\begin{questions}
\item Une équation de $\mathcal{T}_a$ est :
\[
y=f'(a)(x-a)+f(a)\;,
\]
ce qui donne :
\[ y=-x\ln a+a.\]

En remplaçant $x$ par 0 dans cette équation, on trouve que les coordonnées du point $A'$ sont $(0~;a)$.

\item Pour tracer cette tangente, il suffit de reporter l'abscisse du point $A$ sur l'axe des ordonnées pour obtenir le point $A'$, puis la tangente est la droite $(AA')$.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{163_ln-fig4b}
\end{center}
\end{questions}
\end{questions}
