Notons avant tout que:
\begin{itemize}
\item $x\mapsto x^2+x+1$ est continue sur $]-\infty;0]$ comme fonction polynôme;
\item $x\mapsto\sqrt{5x+1}$ est continue sur $]0;3[$ comme composée de deux fonctions définies et continues sur cet intervalle;
\item $x\mapsto x+1$ est continue sur $]3;+\infty[$.
\end{itemize}
Nous devons donc nous pencher sur la continuité de $f$ en $x=0$ et $x=3$.
\begin{itemize}
\item En 0:
\[
\begin{cases}
% ERRVOL \lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}f(x) = f(0)=0^2+0+1 = 1\\
\lim\limits_{\substack{x\to0\\x<0}}f(x) = f(0)=0^2+0+1 = 1\\
\lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}f(x) = \lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}\sqrt{5x+1}=\sqrt{5\times0+1}=1
\end{cases}
\]
Donc $f$ est continue en 0.

\Par

\item En 3:
\[
\begin{cases}
\lim\limits_{\substack{x\to3\\x<3}}f(x) = f(3)=\sqrt{5\times3+1} = 4\\
\lim\limits_{\substack{x\to3\\x>3}}f(x) = \lim\limits_{\substack{x\to3\\x>3}}(x+1)=3+1=4
\end{cases}
\]
Donc $f$ est continue en 3.
\end{itemize}

Par conséquent, $f$ est continue sur $\R$.
