Notons avant tout que la fonction:
\[
x\mapsto\sqrt{1+x^2}
\]
est définie et continue sur $\R$ comme composée de deux fonctions continues sur $\R$:
\[
x\mapsto\sqrt{x} \qquad \text{et} \qquad x\mapsto1+x^2.
\]

\Par

Ainsi, la fonction:
\[
x\mapsto1-\sqrt{1+x^2}
\]
est continue sur $\R$, et $f$ est alors continue sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ (comme quotient par 0 d'une fonction continue).

\Par

Il ne reste plus qu'à vérifier la continuité de $f$ en 0. Pour cela, on calcule la limite de $\dfrac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}$ en 0.

\Par

Cette limite donne lieu à une indétermination du type \og $\dfrac{0}{0}$ \fg{} que nous allons lever à l'aide d'une expression conjuguée:

\begin{align*}
\dfrac{1-\sqrt{1+x^2}}{x} & = \dfrac{\big(1-\sqrt{1+x^2}\big)\big(1+\sqrt{1+x^2}\big)}{x\big(1+\sqrt{1+x^2}\big)}\\[8pt]
& = \dfrac{1-(1+x^2)}{x\big(1+\sqrt{1+x^2}\big)}\\[8pt]
& = \dfrac{-x}{1+\sqrt{1+x^2}}.
\end{align*}
Ainsi,
\[
\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{-x}{1+\sqrt{1+x^2}}=0.
\]

\Par

Par conséquent, $f$ est continue en 0, et donc sur $\R$, pour $m=0$.
