Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[
f(x) = x^5 - 5x + 1.
\]
La  fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme fonction polynôme et :
\[
f'(x) = 5x^4 - 5 = 5(x^2+1)(x^2-1)=5(x^2+1)(x+1)(x-1).\]
Nous en retiendrons que $f'(x) < 0$ sur l'intervalle $[0~;1[$.
\par
Ainsi, la fonction $f$ est dérivable, donc continue, et est strictement décroissante sur l'intervalle $[0~;1]$.
\Par
Enfin :
\[f(0) = 1\quad \text{et}\quad f(1) = -3, \quad \text{donc}\quad 0 \in [f(1)~;f(0)].\]
On sait alors d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires que l'équation
$f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0~;1]$.

De plus, $f(0,2) = \nombre{0,00032} > 0$ et  $f(0,3) = \nombre{-0,49757} < 0$, donc $\alpha$ est compris entre $0,2$ et $0,3$.

Finalement, $\alpha \approx 0,2$  à  $10^{-1}$ près par défaut.
