\begin{questions}
\item \qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-1.6,-0.3){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch04exoPtInflex}}}
$f(-1) =\nep$, donc $A(-1\, ; \nep)$ ; $f(0) = 2$, donc $B(0\, ; 2)$.
\item $f$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et\linebreak $f '(x) = 1 \times \nep^{-x}-\nep^{-x}(x + 2) = \nep^{-x}(-x-1)$.

$f' (x) > 0 \iff x < -1$ car $\nep^{-x}$ est positif pour tout $x$.

On obtient le tableau de variations suivant :
\[
\begin{array}{|R|*5{c}|}
\hline\tabulartitle
x & -2 &  & -1 &  & 4\\
\hline
f'(x)&  & + & 0 & - & \\
\hline
& & & \nep &  & \\
f(x) &  & \nearrow &  & \searrow & \\
 & 0 &  &  & & 6\nep^{-4} \\
 \hline
\end{array}
\]

\item $f$ est continue sur $I$.

Sur $[-2\, ; -1]$, $f$ est strictement croissante, et 1 appartient à $\big[f(-2)\, ; f(-1)\big]$. Donc, d'après le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution sur $[-2\, ; -1]$.

Sur $[-1\, ; 4]$, $f$ est strictement décroissante, et 1 appartient à $\big[f(4)\, ; f(-1)\big]$. Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution sur $[-1\, ; 4]$.

Donc sur $I$, l'équation $f(x) = 1$ admet deux solutions.

\`A la calculatrice, on obtient $a\approx-1,84$ et $b\approx1,14$.

\item $f''(x) = -\nep^{-x}(-x - 1) -\nep^{-x} = x\nep^{-x}$.

Par conséquent, $f$ est convexe si $x > 0$ et $f$ est concave si $x< 0$.

Le point d'inflexion est donc le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 0, c'est $B$.

\item L'équation de la tangente en $B$ à $\mathcal{C}$ est $y = f '(0)x + f(0)$, donc\linebreak $y = -x + 2$.

\item \raisebox{-4.8cm}{\includegraphics{121_continuite-fig13}}

\item Résoudre cette inéquation revient à savoir quand $\mathcal{C}$ est sous $\mathcal{D}$. Or, d'après l'étude de convexité, $\mathcal{C}$ est sous chacune de ses tangentes pour $x < 0$.  Donc pour $x\in [-2\, ; 0]$, $\mathcal{C}$ est sous toutes ses tangentes, donc entre autre sous la tangente en $A(0\, ; 2)$, d'équation
$y = -x+ 2$.

Par contre, pour $x \in[2\,;4]$, $f$ est convexe, donc $\mathcal{C}$ est au-dessus de toutes ses tangentes, donc entre autre de la tangente en $(0\, ; 2)$.

Donc $S = [-2\, ; 0[$.
\end{questions}
