\begin{questions}
\item $f'(x)=3x^2-6x+1$.

$\Delta=(-6)^2-4\times3=24$. L'équation $f'(x) = 0$ a donc deux solutions : $x_1=\dfrac{6-\sqrt{24}}{6}=1-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ et $x_2=1+\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.

Dans $I$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines, et négatif entre les racines.

Donc $f$ est croissante sur $[-10\,;x_1]$ et sur $[x_2\,;10]$, et décroissante sur $[x_1\,;x_2]$.

$f(-10) = -\numprint{1307}$ ; $f(10) = 713$ ; $f(x_1) \approx3,1$ ; $f(x_2)\approx0,9$.
On obtient le tableau de variations suivant :
\[
\begin{array}{|C|*7{c}|}
\hline\tabulartitle
x     & -\infty &   & x_1 &   &  x_2 &   & 10\\
\hline
f'(x) &         & + &  0  & - &    0 & + &   \\
\hline
      &         &   & f(x_1) & & & & 711\\
f(x) & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\
 & \numprint{1307} & & & & f(x_2) & & \\
 \hline
\end{array}
\]

\item $f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $I$.

Sur $[-10\,;x_1]$, $f$ est strictement croissante et 0 appartient à $[f(-10)\,;f(x_1)]$, donc l'équation $f(x) = 0$ admet une solution et une seule dans l'intervalle $[-10\,; x_1]$.

Sur $[x_1\,; 10]$, $f(x)$ est positif puisque le minimum est atteint en $x_2$ et est environ égal à 0,9. Donc sur cet intervalle, l'équation $f(x) = 0$ n'admet pas de solution.

Il y a donc bien une solution unique sur $I$.

De plus $f(-1) = -2$ et $f(0) = 3$, donc en reprenant le même raisonnement, $-1 < a < 0$.

\item
\begin{questions}
\item Nous avons le tableau suivant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}M{1.2cm}|*5{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\cline{2-6}\tabulartitle
\multicolumn{1}{c|}{\cellcolor{LG}} &
\'Etape 1 &
\'Etape 2 &
\'Etape 3 &
\'Etape 4 &
\'Etape 5 \\
\hline
$a$ & \psline(-0.547,0.78)(7.16,0.78) $-1$ & $-1$ & $-1$ & $-0,875$ & $-0,81$  \\
\hline
$b$ & 0 & $-0,5$ & $-0,75$ & $-0,75$ & $-0,75$ \\
\hline
$m$ & $-0,5$ & $-0,75$ & $-0,875$ & $-0,813$ & \\
\hline
$f(m)$ & 1,63 & 0,14 & $-0,84$ & $-0,33$ & \\
\hline
Signe de $f(m)$ & $+$ & $+$ & $-$ & $-$ & \\
\hline
\end{tabularx}

\Par

\`A l'étape 5, le test $b-a>d$ est faux puisque $b-a\approx0,06$.

La sortie sera donc $a = -0,81$ et $b = -0,75$.
\item \label{ch2q3bexsol} On obtient un encadrement de la solution de l'équation $f(x) = 0$ d'amplitude inférieure ou égale à 0,1.
\begin{center}
\includegraphics{123_continuite-solintro}
\end{center}

\item On a représenté à la question \ref{ch2q3bexsol} la fonction $f$.

Initialement, $a = -1$ et $b = 0$, donc $m = -0,5$.

Or, $f(-0,5)$ est positif, donc la nouvelle valeur de $b$ sera $-0,5$ : la solution de l'équation est maintenant encadrée par $-1$ et $-0,5$.

\`A chaque étape, l'amplitude de l'encadrement est divisé par 2.
\end{questions}

\item Par balayage à la calculatrice, on trouve $-0,77 < a < -0,769$. Donc une valeur approchée de $a$ à $10^{-3}$ près est $-0,770$.

\item D'après le tableau de variations de $f$, puisque $f(a) = 0$, $f(x)$ est négatif pour $x$ appartenant à $[-10\,; a]$ et positif ensuite.
\end{questions}
