\begin{questions}
\item %1
\begin{questions}
\item %1.a.
On pose la factorisation du polynôme par $ X^2 - 1$ et on raisonne par identification :
\[
\begin{cases}
(X^2 - 1)(aX + b) & = aX^3 + bX^2 - aX - b \\
& = - X^3 + 2X^2 + X - 2
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
a = - 1 \\ b = 2.
\end{cases}
\]
Donc : $ - X^3 + 2X^2 + X - 2 = (X^2 - 1)( - X + 2) $.

\item %1.b.
\begin{questions}
\item %1.b.i.
On utilise la forme factorisée, pour résoudre l'équation polynomiale (en $x$) :
\begin{align*}
- x^3 + 2x^2 + x - 2 = 0 & \iff (x^2 - 1)( - x + 2) = 0 \\
& \iff x^2 - 1 = 0 \text{\enspace ou\enspace} - x + 2 = 0 \\
& \iff x = 1 \text{\enspace ou\enspace} x = - 1 \ \text{\enspace ou\enspace} x = 2.
\end{align*}

\item %1.b.ii.
Soit à résoudre $(E)$ : $- (\ln x)^3 + 2(\ln x)^2 + \ln x - 2 = 0$.

Cette équation est valide pour $x>0$.

Pour se ramener à l'équation précédente, on pose $ X = \ln{x} $.

\begin{align*}
(E) &
\iff \begin{cases}
- X {}^3 + 2X^2 + X - 2 = 0 \\ X = \ln x
\end{cases}
\\
& \iff
\begin{cases}
\ln x= - 1\\
\text{ ou }\\
\ln x= 1\\
\text{ ou }\\
\ln{x} = 2
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x = \nep ^{-1}\\
\text{ ou }\\
x = \nep\\
\text{ ou }\\
x = \nep ^2
\end{cases}
\end{align*}
\end{questions}
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
(x - 2)(2x^2 + x - 15) & = 2x^3 + x^2 - 15 x -4x^2 -2x + 30 \\
& = 2x^3 -3x^2 - 17 x + 30 \\
& = P(x).
\end{aligned}$

\item $P(x) = 0 \iff x - 2 = 0 \ \text{ ou } \ 2x^2 + x - 15 = 0$.

Le polynôme $2x^2 + x - 15$ a deux racines réelles (car\\
$\Delta = 1 + 120 = 121 = 11^2 > 0$) :
\[
x_1 = \frac{- 1 - 11}{4} = -3 \quad \text{ et } \quad x_2 = \frac{- 1 + 11}{4} = \dfrac{5}{2}. \]
$P(x) = 0 \iff x = 2 \ \text{ ou } \ x = - 3 \ \text{ ou } \ x = \dfrac{5}{2} $.
\end{questions}

\item $ 2\ln{x} + \ln(2x - 3) = \ln(17x - 30) $.

On commence par poser les conditions de validité :
\[
\begin{cases}
x > 0 \\
2x - 3 > 0 \\
17x - 30 > 0
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x > 0 \\
x > \dfrac{3}{2} \\[8pt]
x > \dfrac{30}{17}.
\end{cases}
\iff x > \dfrac{30}{17}
\]
On résout ensuite l'équation :
\begin{align*}
2\ln x + \ln(2x - 3) & = \ln x^2 + \ln(2x - 3) \\
                     & = \ln\big(x^2(2x - 3)\big)\\
                     & = \ln\big(2x^3 - 3x^2\big).
                     \end{align*}
D'où, pour $x > \dfrac{30}{17}$ : $\begin{aligned}[t]
\ln\big(2x^3 - 3x^2\big) & = \ln(17x - 30) \\
\iff 2x^3 - 3x^2 & = 17x - 30 \iff P(x) = 0.
\end{aligned}$

D'après la question précédente, $ P(x) = 0 $ équivaut à $ x = - 3$ ou $ x = 2$ ou $x = \dfrac{5}{2}. $
                                    
Parmi ces solutions, $ - 3$ ne satisfait pas la condition de validité car: $ - 3 < \dfrac{30}{17}$.\\
Donc l'ensemble des solutions de l'équation est : $ \left\{2\,;\dfrac{5}{2}\right\}$.
\end{questions}
\end{questions}
