\begin{questions}
\item Réponse \choix[c].

L'équation est valide pour $x^2 > 0$ soit sur \mbox{$ \left] - \infty \,; 0\right[ \cup \left]0\,; + \infty \right[ $}.

Pour tout $x$ de $ \left] - \infty \,; 0\right[ \cup \left]0\,; + \infty \right[ $ :
\begin{align*}
\ln \big(x^2\big) = 0 & \iff \ln \big(x^2\big) = \ln 1\\
& \iff x^2 = 1\\
& \iff x = - 1\text{ ou }x = 1.
\end{align*}
L'ensemble des solutions de l'équation $\ln \big(x^2\big) = 0$ est donc $\{ - 1\,;1\}$.

\item Réponse \choix[c]. L'équation est valide si $x^2 - x > 0$ soit si $x(x - 1) > 0$. L'ensemble de validité de l'équation est donc $ \left] - \infty \,; 0\right[ \cup \left]1\,; + \infty \right[ $.

Pour tout $x$ de $ \left] - \infty \,; 0\right[ \cup \left]1\,; + \infty \right[ $ :
\begin{align*}
\ln (x^2 - x) = 0 & \iff \ln (x^2 - x) = \ln 1\\
& \iff x^2 - x = 1\\
& \iff x^2 - x - 1 = 0.
\end{align*}
L'équation $x^2 - x - 1 = 0$ admet pour discriminant $ \Delta = 5$ et pour solutions $ x_1 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} $ et $ x_2 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $.

Ces deux solutions appartiennent à l'ensemble $ \left] - \infty \,; 0\right[ \cup \left]1\,; + \infty \right[ $ donc l'ensemble des solutions de l'équation $\ln \big(x^2 - x\big) = 0$ est :
\[\left\{\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\,; \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right\}. \]

\item Réponse \choix[c]. L'inéquation est valide sur $\R$. Pour tout $x$ réel,
\[ 1 - x\ln (0,5)\geqslant 0\iff - x\ln (0,5)\geqslant - 1\iff x\ln (0,5)\leqslant 1. \]
Or, $0,5 < 1$ ; donc $\ln(0,5) < 0$, soit :
\[ x\ln (0,5)\leqslant 1\iff x\geqslant \frac{1}{\ln (0,5)}. \]
L'ensemble des solutions de l'inéquation $1 - x\ln (0,5)\geqslant 0$ est donc:
\[ \Bigl[\dfrac{1}{\ln (0,5)}\,; + \infty \Bigr[. \]

\begin{Remarque}comme $ \ln (0{,}5) = \ln \left(\dfrac{1}{2}\right) = - \ln 2 $, l'ensemble des solutions peut s'écrire aussi :
\[ \Bigl[ - \frac{1}{\ln 2}\,; + \infty \Bigr[. \]
\end{Remarque}

\item Réponse \choix[c]. $\begin{aligned}[t]
\left(1+\dfrac{1}{100}\right)^6=2 & \iff \ln\left[\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^6\right]=\ln2\\
& \iff 6\ln\left(1+\dfrac{t}{100}\right)=\ln2\\
& \iff \ln\left(1+\dfrac{t}{100}\right)=\dfrac{\ln2}{6}\\
& \iff 1+\dfrac{t}{100}=\exp\left(\dfrac{\ln2}{6}\right)
\end{aligned}$

\begin{align*}
& \iff \dfrac{t}{100}=\exp\left(\dfrac{\ln2}{6}\right)-1\\
& \iff t = 100\exp\left(\dfrac{\ln2}{6}\right)-100\\
& \iff t \approx 12,25.
\end{align*}
\end{questions}
