\begin{questions}
\item La calculatrice donne $\ln 5\approx\numprint{1,6094379}$.
\item
\begin{questions}
\item Pour $N=1$, $k$ et $S$ prennent les valeurs successives suivantes :

\Par

\hspace*{-5.5em}
\begin{tabular}{|C|*5{Zc|}}
\hline\tabulartitle
$k$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
$S$ &  $0+1=1$ & $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ & $\frac{3}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}$ & $\frac{11}{6}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}$ & $\frac{25}{12}+\frac{1}{5}=\frac{137}{60}$\\
\hline
\end{tabular}

\Par

On obtient donc $S=\dfrac{137}{60}$, soit $S\approx2,28$.

\Par

Pour $N=2$, $k$ varie de 2 à 10. Alors, $S=0+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{10}$, ce qui donne $S\approx1,93$.

\item $S=\dfrac{1}{N}+\dfrac{1}{N+1}+\cdots+\dfrac{1}{5N}$.

\item $S$ semble se rapprocher de $\ln 5$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Les fonctions $f$ et $g$ sont définies et dérivables sur $[0~;1[$.
\[ f'(x)=1-\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{x}{1+x}.\]
Donc $f'(x)$ est positive sur $[0~;1[$ et $f$ est croissante sur cet intervalle.
\[ g'(x)=1-\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{-x}{1-x}.\]
Alors $g'(x)$ est négative sur $[0~;1[$ et $g$ est décroissante sur cet intervalle.

\item La fonction $f$ est croissante sur $[0~;1[$ et $f(0)=0$, donc pour tout $x$ de $[0~;1[$, $f(x)\geqslant0$, c'est-à-dire $x-\ln(1+x)\geqslant0$, ou encore $x\geqslant\ln(1+x)$.

De même, $g$ est décroissante sur $[0~;1[$ et $g(0)=0$ donc $g(x)\leqslant0$, ce qui donne $x\leqslant-\ln(1-x)$.

Ces deux inégalités donnent l'encadrement demandé pour tout $x$ de $[0~;1[$ :
\[ \ln(1+x)\leqslant x\leqslant-\ln(1-x).\]
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item Si $k$ est un entier compris entre $n$ et $5n$ avec $n\geqslant2$, alors $\dfrac{1}{k}$ appartient à $[0~;1[$ et vérifie la double inégalité précédente :
\[
\ln\left(1+\dfrac{1}{k}\right)\leqslant\dfrac{1}{k}\leqslant-\ln\left(1-\dfrac{1}{k}\right).
\]

\item En faisant la somme membre à membre des inégalités précédentes pour $k$ allant de $n$ à $5n$, on constate que le terme central est $S_n$.
\newpage
Le terme de gauche est :

\begin{align*}
& \ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)+\ln\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)+\cdots+\ln\left(1+\dfrac{1}{5n}\right)\\
=\ & \ln\left(\dfrac{n+1}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{n+2}{n+1}\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{5n+1}{5n}\right)\\
=\ & \ln\left(\dfrac{n+1}{n}\times\dfrac{n+2}{n+1}\times\cdots\times\dfrac{5n+1}{5n}\right)\\
=\ & \ln\left(\dfrac{5n+1}{n}\right)\\
=\ & \ln\left(5+\dfrac{1}{n}\right).
\end{align*}

Dans le terme de droite, la somme obtenue est :
\[
-\ln\left(\dfrac{n-1}{n}\times\dfrac{n}{n+1}\times\cdots\times\dfrac{5n-1}{5n}\right)=-\ln\left(\dfrac{n-1}{5n}\right).
\]
Cela donne bien, pour tout $n\geqslant2$, l'encadrement :
\[
\ln\left(5+\dfrac{1}{n}\right)\leqslant S_n\leqslant-\ln\left(\dfrac{n-1}{5n}\right).
\]

\item On a : $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n-1}{5n}=\dfrac{1}{5}$ donc :
\[
\lim\limits_{n\to+\infty}\left[-\ln\left(\dfrac{n-1}{5n}\right)\right]=-\ln\dfrac{1}{5}=\ln5.
\]

D'après le théorème des gendarmes, on en déduit que la limite de la suite $(S_n)$ est égale à $\ln 5$.
\end{questions}
\end{questions}
