\begin{questions}
\item Considérons la fonction définie pour tout réel $x$ positif par :
\[ f(x)=\ln{(x+1)}-x. \]
La fonction $f$ est dérivable sur son ensemble de définition et, pour tout réel $x$ positif,
\[ f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-1 = -\dfrac{x}{1+x}. \]
La fonction $f'$ est donc négative sur $[0~;+\infty[$, donc la fonction $f$ est décroissante sur son ensemble de définition. Elle admet ainsi un maximum en $0$ et, pour tout réel $x$ positif, on a : $f(x)\leqslant f(0)$, soit $f(x)\leqslant 0$.

Il en résulte que, pour tout réel $x$ positif, $\ln{(1+x)} \leqslant x$.

\begin{methode}
Pour prouver une inégalité du type $f(x)<g(x)$, on étudie la fonction $d(x)=f(x)-g(x)$, et son tableau de variation\linebreak permettra d'en déterminer le signe.
\end{methode}

\item Par hypothèse, $v_n=\ln {u_n}$.

On remplace alors $u_n$ par l'expression obtenue à la première question :
\[ v_n=\ln \left[(1+k)\big(1+k^2\big)\big(1+k^3\big)\cdots\big(1+k^{n-1}\big)\right]. \]
Comme $0<k<1$, tous les facteurs du produit sont strictement positifs, donc, en appliquant les propriétés de la fonction logarithme,
\[ v_n=\ln(1+k) + \ln\big(1+k^2\big) + \cdots + \ln\big(1+k^{n-1}\big). \]

Comme $0<k<1$, on peut appliquer l'inégalité démontrée dans la question précédente à chacun des termes de la somme :
\[ \ln {\left (1+k \right)} \leqslant k \]
\[ \ln {\left (1+k^2 \right)} \leqslant k^2. \]
On additionne ensuite membre à membre les $n-1$ inégalités ainsi obtenues :
\[ v_n \leqslant k + k^2+ k^3+\cdots+k^{n-1}. \]
On reconnaît dans le second membre de l'inégalité la somme des $n-1$ premiers termes de la suite géométrique de raison $k$ et de premier terme $k$. On peut alors écrire, comme $0<k<1$ :
\[ v_n \leqslant k \left(\dfrac{1-k^{n-1}}{1-k}\right)\;, \]
soit :
\[ v_n \leqslant \left(\dfrac{k}{1-k}\right)-\left(\dfrac{k^n}{1-k}\right). \]
Comme $\dfrac{k^n}{1-k}$ est positif, il en résulte que, pour tout entier\linebreak naturel~$n$,
\[ v_n \leqslant \dfrac{k}{1-k}. \]

\item D'après la question précédente, la suite $(v_n)$ est majorée. Or, pour tout naturel $n$, $u_n=\nep^{v_n}$, et la fonction $x\mapsto\nep^{x}$ est croissante sur $\R$, donc la suite $(u_n)$ est aussi majorée.

$(u_n)$ est à termes strictement positifs. De plus, pour tout naturel $n$,
\[  \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{(1+k^n)u_n}{u_n}= (1+k^n). \]
Comme $0<k<1$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}> 1$.
Il en résulte que $(u_n)$ est croissante.

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée donc elle est convergente.
\end{questions}
