\begin{questions}
\item La condition de validité pour $\ln(2x) = - 3$ est que $ x > 0$.
\begin{align*}
\ln(2x) = - 3 & \iff \ln(2x) = \ln{(\nep ^{-3})} \\
& \iff 2x = \nep ^{ - 3} \ \text{(par stricte monotonie)}.
\end{align*}
Donc la solution est $\dfrac{1}{2}\nep ^{-3} $ (car $\dfrac{1}{2}\nep^{-3}>0$).

\item L'équation $ \dfrac{1}{2}\ln(3x + 1) = 1$ n'est valide que si $3x + 1 > 0$ c'est-à-dire $x > - \dfrac{1}{3}$.\\
$\begin{aligned}[t]
\dfrac{1}{2}\ln(3x + 1) = 1 & \iff \ln(3x + 1) = 2 \iff \ln(3x + 1) = \ln(\nep ^2) \\
& \iff 3x + 1 = \nep ^2 \quad \text{(par stricte monotonie)} \\
& \iff x = \dfrac{1}{3}(\nep ^2 - 1).
\end{aligned}$\\                                                                
Ceci vérifie la condition de validité, donc $\dfrac{1}{3}(\nep ^2 - 1)$ est solution.

\pagebreak

\item L'équation $ 3\ln(3x^2 + 1) = 6$ est définie sur $\R$ puisque le trinôme $3x^2 + 1$ est toujours strictement positif.
\begin{align*}
3\ln(3x^2 + 1) = 6 & \iff \ln(3x^2 + 1) = 2 \iff \ln(3x^2 + 1) = \ln \nep^2 \\
& \iff 3x^2 + 1 = \nep ^2 \iff x^2 = \underbrace{\frac{\nep ^2 - 1}{3}}_{ > \ 0} \\[-3pt]
&\iff x = \sqrt{\frac{\nep ^2 - 1}{3}} \quad \text{ ou } \quad x = - \sqrt{\frac{\nep ^2 - 1}{3}}.
\end{align*}
L'équation a pour ensemble de solutions $ \left\{-\sqrt{\dfrac{\nep^2 - 1}{3}}\,; \sqrt{\dfrac{\nep^2 - 1}{3}}\right\}$.
\end{questions}
