\begin{questions}
\item L'expression $\dfrac{\nep^x}{\nep^x -1}=2 $ n'a de sens que pour
$\nep^x\neq 1$, c'est-à-dire pour $x\neq 0$.
\par
Alors :
\[
\begin{aligned}
\dfrac{\nep^x}{\nep^x -1}=2 &\iff \nep^x=2\nep^x-2  \\ &\iff
\nep^x=2.
\end{aligned}
\]
L'équation $\dfrac{\nep^x}{\nep^x -1}=2$ possède donc une unique
solution
$x=\ln 2$.
\item Posons $X=\nep^x$.
On a
alors :
$
\nep^{2x}-2\nep^x+3=X^2-2X+3
$.
\par
Le discriminant de ce trinôme vaut $\Delta=-8$, donc pour tout réel
$t$ :
\[
t^2-2t+3>0.
\]
Donc pour tout $x\in \R$,
$
\nep^{2x}-2\nep^x+3>0
$.
\par
Or, pour tout $x\in \R$, $\nep^{-3x}>0$ donc :
\[
\dfrac{-\nep^{-3x}}{\nep^{2x}-2\nep^x+3} <0\;,
\]
et l'équation
$
\dfrac{-\nep^{-3x}}{\nep^{2x}-2\nep^x+3}=1
$
ne possède donc pas de solution réelle.
\end{questions}
