\begin{questions}
\item Réponse \choix[d]. En effet, la fonction est de la forme $\dfrac{ku'}{u}$, dont une primitive est $k\ln|u|$, ce qui donne ici la fonction $x\mapsto2\ln|x+1|$ (sur $\R\setminus\{-1\}$).

\item Réponse \choix[a]. Il n'existe aucune formule permettant de trouver une primitive de $x\mapsto\sqrt{x}$ donc il est ici nécessaire de dériver les propositions et de voir pour laquelle on obtient $\sqrt{x}$. Par chance, en dérivant la première, à savoir $x\mapsto\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+8$, on obtient bien $\sqrt{x}$. Cela signifie donc que cette fonction est bien une primitive de $x\mapsto\sqrt{x}$ (sur $\R_+$ bien entendu).

\item Réponse \choix[b]. En effet, la fonction comporte une exponentielle : $\nep^{x^3}$, et la dérivée de \mbox{$u\;:\;x\mapsto x^3$} est \mbox{$u'\;:\;x\mapsto 3x^2$}. On constate donc que $x^2\nep^{x^3}=\dfrac{1}{3}u'\nep^u$, dont une primitive est $\dfrac{1}{3}\nep^{u}+k$, soit $\dfrac{1}{3}\nep^{x^3}+k$. En prenant $k=\pi$, on obtient bien la proposition \choix[b].

\item Réponse \choix[a]. Comme dans la question 2, il est ici nécessaire de dériver les propositions afin de voir laquelle donne la fonction initiale. Il est conseillé de commencer par les propositions les plus simples à dériver, donc les propositions \choix[b], qui donne $\dfrac{1}{x}$, puis \choix[c], qui donne $1+\ln(x)$, puis \choix[d], qui donne $\ln(x)$. Ne donnant pas la fonction souhaitée, il ne reste que la première proposition.

\item Réponse \choix[d]. En effet, $x\mapsto \dfrac{4x-6}{\sqrt{x^2-3x+1}}$ est de la forme $\dfrac{2u'}{\sqrt{u}}$, avec $u(x)=x^2-3x+1$ et $u'(x)=2x-3$. Or, une primitive de $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ est $2\sqrt{u}$. Ainsi, une primitive de $\dfrac{2u'}{\sqrt{u}}$ est $2\times2\sqrt{u}=4\sqrt{u}$, soit ici $4\sqrt{x^2-3x+1}$.
\end{questions}
