\begin{questions}
\item \textit{Faux}. En effet,  $y' + 3y = 0 \iff y' = -3y$ et on sait que les équations différentielles de la forme $y'=ay$ admettent pour solutions les fonctions de la forme $C\nep^{ax}$, $C\in\R$.

Ainsi, l'équation différentielle  $y' + 3y = 0$ admet pour solutions les fonctions de la forme $C\nep^{-3x}$, $C\in\R$.

\item \textit{Vrai}. En effet, si $f(x)=x^2-x+2$ alors $f'(x)=2x-1$ et on a :
\begin{align*}
f'(x)+2f(x) & = (2x-1)+2(x^2-x+2)\\
& = 2x-1+2x^2-2x+4\\
& = 2x^2+3.
\end{align*}

$f$ est donc bien solution de l'équation différentielle $y'+2y=2x^2+3$.

\item \textit{Vrai}. Par définition, l'équation homogène associée à l'équation différentielle $y'=ay+f$ est l'équation  $y'=ay$.

Or, $y'-5y=x \iff y'=5y+x$ donc son équation homogène associée est bien $y'=5y$.

\item \textit{Faux}. En effet, les équations différentielles de la forme $y'=ay+b$ admettent pour solutions les fonctions de la forme $f(x)=C\nep^{ax}-\dfrac{b}{a}$. Ici, $a=4$ et $b=-1$, ce qui donne les fonctions $f(x)=C\nep^{4x}-\dfrac{-1}{4}$, soit $f(x)=C\nep^{4x}+\dfrac{1}{4}$, $C\in\R$.
\end{questions}
