\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item La fonction $N$ est dérivable et ne s'annule pas sur $\left[0, +\infty\right[$ donc la fonction $y$ est aussi dérivable sur $\left[0, +\infty\right[$ et, pour tout réel $t$ positif,
\[
y'(t)=-\dfrac{N'(t)}{\big(N(t)\big)^2}.
\]

\item $y(t)=\dfrac{1}{N(t)}$ donc $N(t)=\dfrac{1}{y(t)}$.

De l'expression de $y'(t)$, on tire:
\[
N'(t)=-\dfrac{y'(t)}{\big(y(t)\big)^2}.
\]
\og $N$ est solution de (E) \fg équivaut à dire que pour tout réel $t$ positif,
\[
N'(t)=2N(t)-0,0045\big(N(t)\big)^2.
\]
En remplaçant $N'(t)$ et $N(t)$ en fonction de $y$, on obtient :\par
\og $N$ est solution de (E) \fg équivaut à dire que pour tout réel $t$ positif,
\[
-\dfrac{y'(t)}{\big(y(t)\big)^2}= \frac{2}{y(t)}-\dfrac{0,0045}{\big(y(t)\big)^2}\,,
\]
soit après transformation,
\[
y'(t)=-2y(t)+0,0045.
\]
On a donc bien démontré que \og $N$ est solution de (E) \fg équivaut à \og $y$ est solution de (E') \fg, où (E') est l'équation:
\[
y'(t)=-2y(t)+0,0045.
\]
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item L'équation:
\[
y'(t)=-2y(t)+0,0045
\]
s'écrit aussi:
\[
y'(t)=-2\big(y(t)-0,00225\big)\qquad (1).
\]
Si on pose:
\[
z(t)=y(t)-0,00225,
\]
la fonction $z$ est dérivable sur $\left[0, +\infty\right[$et, pour tout $t$ positif,
\[
z'(t)=y'(t).
\]
En remplaçant dans l'équation $(1)$, on a:
\[
y'(t)=z'(t)=-2-2\big(\underbrace{y(t)-0,00225}_{=z(t)}\big)
\]
soit:
\[
z'(t)=-2z(t).
\]

\item
\begin{itemize}
\item D'après le cours, les solutions de l'équation:
\[
z'(t)=-2z(t)
\]
sont les fonctions $z$ définies pour tout $t$ positif par:
\[
z(t)=k\nep^{-2t}
\]
où $k$ désigne une constante réelle.


\item $y(t)=z(t)+0,00225$ donc, pour tout réel $t$ positif,
\[
y(t)=k\nep^{-2t} + 0,00225.
\]

\item On détermine enfin $N(t)$.
On sait que $N(t)=\dfrac{1}{y(t)}$.

On obtient donc en remplaçant $y(t)$ par sa valeur:
\[
N(t)=\dfrac{1}{k\nep^{-2t} + 0,00225}.
\]
Or, par hypothèse, $N(0)=1000$. On détermine alors la valeur de $k$ en résolvant l'équation:
\[
\dfrac{1}{k + 0,00225}=\numprint{1000}.
\]
On en déduit que $k=-0,00125$.

Finalement,
\[
N(t)=\dfrac{1}{0,00225-0,00125\nep^{-2t}}.
\]
\end{itemize}
\end{questions}
\end{questions}
