Une solution est de dériver séparément les deux fonctions et comparer les dérivées. Si elles sont égales, les fonctions $f$ et $g$ sont bien primitives d'une même fonction.

Une variante est de calculer la différence des deux fonctions. Si c'est une fonction constante, alors cela prouve que ce sont deux primitives d'une même fonction (la dérivée d'une fonction constante est nulle).

Cette méthode est un peu plus rapide car on n'a pas besoin de dériver.

Pour tout $x\in I$,
\begin{align*}
f(x)-g(x) & = \frac{5x^2-7x + 9}{3x-1}-\frac{5x^2-16x + 12}{3x-1}\\
& = \frac{5x^2-7x + 9-5x^2 + 16x-12}{3x-1} = \frac{9x-3}{3x-1} = 3.
\end{align*}

Comme $f - g$ est une fonction constante sur $I$, $(f-g)' = 0 $ et donc $f' = g' $.
