Pour que la fonction $F$ soit une primitive de $f$, il faut et il suffit que la fonction $F$ soit dérivable sur $\left]-2~;+\infty\right[$ et que $F'=f$.

On détermine donc $F'(x)$ :
\[
\begin{aligned}
F'(x)&=\left(3ax^2+2bx+c\right)\sqrt{x+2}+\dfrac{ax^3+bx^2+cx+d}
{2\sqrt{x+2}}\\
&=\dfrac{\left(3ax^2+2bx+c\right)(2x+4)+ax^3+bx^2+cx+d}{2\sqrt{x+2}}\\
%&=\dfrac{(6a+a)x^3+(12a+4b+b)x^2+(8b+2c+c)x+4c+d}{2\sqrt{x+2}}\\
&=\dfrac{7ax^3+(12a+5b)x^2+(8b+3c)x+(4c+d)}{2\sqrt{x+2}}.
\end{aligned}
\]
Or $F' =f$ si et seulement si, pour tout $x>-2$,
\[
\begin{aligned}
7ax^3+(12a+5b)x^2+(8b+3c)x+(4c+d)
&=2x^2\sqrt{x+2}\sqrt{x+2}\\
&=2x^3+4x^2.
\end{aligned}
\]
On en déduit, après identification des coefficients et résolution du système ainsi obtenu :
$
a=\dfrac{2}{7}\quad,\quad b=\dfrac{4}{35}\quad,\quad c=\dfrac{-32}{105}\quad\text{et}\quad d=\dfrac{128}{105}.$

Ainsi,  $F(x)=\left(\dfrac{2}{7}x^3
+\dfrac{4}{35}x^2-\dfrac{32}{105}x
+\dfrac{128}{105}\right)\sqrt{x+2}.$
