\begin{questions}
\item Une fraction rationnelle est définie pour tout réel $x$ qui n'annule pas son dénominateur.

Or, $(x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2$, donc $\mathscr{D}_f=\R\setminus\{-1~;1\}$.

\item Cherchons $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x\in\mathscr{D}_f$:
\[
\begin{aligned}
\dfrac{3x^2-2x+3}{(x^2-1)^2}
&=\dfrac{b(x-1)^2+a(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\\
&=\dfrac{(a+b)x^2+2(a-b)x+(a+b)}{(x^2-1)^2}.
\end{aligned}
\]

On en déduit, par identification des coefficients, que:
\[
\begin{cases}
a+b&=3\\
2(a-b)&=-2
\end{cases}
\]
On trouve alors:  $a=1$ et $b=2$.

On a donc, pour tout réel $x$ appartenant à $\mathscr{D}_f$,
\[
f(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{(x-1)^2}.
\]

\item  Remarquons que la fonction $f$ est continue sur son ensemble de définition donc elle y admet des primitives.

La fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x+1}$ est dérivable sur $]1~;+\infty[$ et a pour dérivée sur cet intervalle : $x\mapsto -\dfrac{1}{(x+1)^2}$. Une primitive de $\dfrac{2}{(x+1)^2}$ sur $]1~;+\infty[$ est donc $x\mapsto \dfrac{-2}{x+1}$.

De même, la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x-1}$ est dérivable sur $]1~;+\infty[$ et a pour dérivée sur cet intervalle :  $x\mapsto-\dfrac{1}{(x-1)^2}$. Une primitive de $\dfrac{1}{(x-1)^2}$ sur $]1~;+\infty[$ est donc $x\mapsto \dfrac{-1}{x-1}$.

Une primitive de $f$ sur $]1~;+\infty[$ est donc :
\[x\mapsto
\dfrac{-1}{x-1}
+\dfrac{-2}{(x+1)}
=\dfrac{1-3x}{x^2-1}.
\]

En ajoutant une constante à cette fonction on obtient une autre primitive de $f$, donc $x\mapsto \dfrac{1-3x}{(x^2-1)}+1$
est une primitive de $f$ sur $]1~;+\infty[$.
\end{questions}
