\begin{questions}
\item La fonction $x\mapsto 2x^2+1$ est
définie, et à valeurs strictement positives sur $\R$.

Donc $x\mapsto 2x^2+1$ ne s'annule pas sur $\R$.
\begin{itemize}
\item La fonction
$x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2x^2+1}}$ est définie et dérivable sur
$\R$ comme composée de fonctions dérivables sur $\R$ ;
\item La fonction
$x\mapsto 4x^2+1$ est une fonction polynôme, donc définie et dérivable
sur $\R$.
\end{itemize}
\par
Ainsi, $f$ est définie et dérivable sur $\R$ comme produit de deux
fonctions définies et dérivables sur
$\R$. Par conséquent, $f$ est continue sur $\R$, donc elle admet des
primitives sur $\R$.


\item Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. D'après la définition d'une primitive, la fonction $F$ est dérivable sur $\R$ et $F'=f$.

Tout d'abord, le fait que la fonction $F$ soit  définie et dérivable sur $\R$ impose que le polynôme $P$ doit être à valeurs strictement positives sur $\R$. On en déduit que, si l'on a $P(x)=ax^2+bx+c$, alors $a>0$ et $b^2-4ac<0$.

Alors la fonction $F$ définie par $F(x)=\sqrt{P(x)}$ est dérivable sur $\R$ et a pour dérivée :
\[
F'(x)={P'(x)\over 2\sqrt{P(x)}}={2ax+b\over 2\sqrt{ax^2+bx+c}}.
\]
L'égalité $F'=f$ équivaut pour tout réel $x$ à :
\[
\dfrac{4x^2+1}{\sqrt{2x^2+1}}= {2ax+b\over 2\sqrt{ax^2+bx+c}}.
\]
Étudions la limite en $+\infty$ de chacune des expressions. On a :
\[
\lim\limits_{x\to +\infty} F'(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}
\dfrac{a+\dfrac{b}{2x}}{\sqrt{a+\dfrac{b}{x}+\dfrac{c}{x^2}}}
=\sqrt{a}.
\]
Alors que :
\[
\lim\limits_{x\to +\infty} x\dfrac{4+\dfrac{1}{x^2}}{\sqrt{2+\dfrac{1}{x^2}}}=+\infty.
\]
On ne peut donc pas avoir  $F'=f$.

Donc $F$ ne peut pas être une primitive de $f$.

\item Si $g$ est dérivable sur $\R$, $x\mapsto g(x)\sqrt{2x^2+1}$ est dérivable sur $\R$ et a pour dérivée :
\[
x\mapsto g'(x)\sqrt{2x^2+1}+\dfrac{2xg(x)}{\sqrt{2x^2+1}}=
\dfrac{g'(x)(2x^2+1)+2xg(x)}{\sqrt{2x^2+1}}.
\]

\item Prenons $g(x)=x$ dans l'expression ci-dessus.

On obtient :
\[
\dfrac{g'(x)(2x^2+1)+2xg(x)}{\sqrt{2x^2+1}}
=\dfrac{ 2x^2+1+2x^2}{\sqrt{2x^2+1} }=f(x).
\]
La fonction $x\mapsto x\sqrt{2x^2+1}$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
\end{questions}
