Calculons pour tout réel $x$ différent de 1 et de 2:
\begin{align*}
\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x-2}+\dfrac{c}{(x-2)^2} & = \dfrac{a(x-2)^2 + b(x-1)(x-2) + c(x-1)}{(x-1)(x-2)^2}\\
& = \dfrac{ax^2-4ax+4a + bx^2-3bx + 2b + cx-c}{(x-1)(x-2)^2}\\
& = \dfrac{(a+b)x^2 + (-4a-3b+c)x + 4a+2b-c}{x^3-5x^2+8x-4}.
\end{align*}
On souhaite que pour tout réel $x$ différent de 1 et de 2:
\[
\dfrac{x^2-5x+7}{x^3-5x^2+8x-4} = \dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x-2}+\dfrac{c}{(x-2)^2}
\]
donc que:
\[
\dfrac{x^2-5x+7}{x^3-5x^2+8x-4} = \dfrac{(a+b)x^2 + (-4a-3b+c)x + 4a+2b-c}{x^3-5x^2+8x-4}.
\]
\Par
On identifie alors les coefficients de chaque puissance de $x$ au numérateur des deux fractions:
\[
\begin{cases}
a+b&=1\\
-4a-3b+c&=-5\\
4a+2b-c&=7
\end{cases}
\]
De la première équation, on déduit que $a=1-b$. De plus, en additionnant les deux autres équations, on obtient:
\[
-b = 2 \iff b = -2 \iff a = 3.
\]
On en déduit alors la valeur de $c$:
\[
-4a-3b+c=-5 \iff c = -5+4a+3b = 1.
\]
Finalement,
\[
\dfrac{x^2-5x+7}{x^3-5x^2+8x-4} = \dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{1}{(x-2)^2}
\]
et donc:
\begin{align*}
\int_3^4 \dfrac{x^2-5x+7}{x^3-5x^2+8x-4}\dd x & = \int_3^4 \dfrac{3}{x-1}\dd x - \int_3^4 \dfrac{2}{x-2}\dd x + \int_3^4 \dfrac{1}{(x-2)^2}\dd x\\
& = \big[ 3\ln|x-1| \big]_3^4 - 2\big[ \ln|x-2| \big]_3^4 + \left[ -\frac{1}{x-2} \right]_3^4\\
& = 3\ln3-3\ln2 - (2\ln2-2\ln1)-\frac{1}{2}+\frac{1}{1}\\
& = \frac{1}{2} -5\ln2 + 3\ln3.
\end{align*}
