Remarquons tout d'abord que toutes les fonctions à intégrer sont continues sur $\R$ donc elles admettent toutes des primitives sur $\R$ et les intégrales $I_n$ et $J_n$ existent pour tout entier naturel $n$.
\begin{questions}
\item
On a
\[
I_0=\int_0^\frac{\pi}{2} \sin x \dd x=1
\quad\text{et}\quad
J_0=\int_0^\frac{\pi}{2} \cos x \dd x=1.
\]


\item
\begin{questions}
\item Soit $n$ un entier naturel. Posons:
\[
u(x)=\nep^{-nx}
\quad
\text{et}
\quad
v(x)=\sin(x).
\]
Alors :
\[
u'(x)=-n \nep^{-nx}
\quad
\text{et}
\quad
v'(x)=\cos(x).
\]
Les fonctions $u$ et $v$ étant dérivables, à dérivées continues sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on peut appliquer le théorème d'intégration par parties :
\[
J_n=\int_0^\frac{\pi}{2} \nep^{-nx}\cos x \dd x
=\left[ \nep^{-nx}\sin x
\right]^\frac{\pi}{2}_0+n\int_0^\frac{\pi}{2} \nep^{-nx}\sin x \dd x.
\]
Ainsi,
\[
J_n=\nep^{-n\frac{\pi}{2}}+nI_n.
\]
De la même façon, posons :
\[
u(x)=\nep^{-nx}
\quad
\text{et}
\quad
v(x)=-\cos(x).
\]
Alors :
\[
u'(x)=-n\nep^{-nx}
\quad
\text{et}
\quad
v'(x)=\sin(x).
\]
Une intégration par parties donne donc :
\[
I_n=\int_0^\frac{\pi}{2} \nep^{-nx}\sin x \dd x=\left[ -\nep^{-nx}\cos x
\right]^\frac{\pi}{2}_0-n\int_0^\frac{\pi}{2} \nep^{-nx}\cos x \dd x
\]
soit :
\[
I_n=1-nJ_n.
\]
D'où le système :
\[
\left\{
\begin{aligned}
I_n+nJ_n&=1\\
-nI_n+J_n&=\nep^{-n\frac{\pi}{2}}
\end{aligned}\right.
\]
\item Le système précédent donne :
\[
\left\{
\begin{aligned}
J_n&=\dfrac{n+\nep^{-\frac{n\pi}{2}}}{n^2+1}\\
I_n&=\dfrac{1-n\nep^{-\frac{n \pi}{2}}}{n^2+1}
\end{aligned}
\right.
\]
\end{questions}


\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, nous avons:
\[
I_n=\dfrac{\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{\nep^{-\frac{n
\pi}{2}}}{n}}{{1+\dfrac{1}{n^2}}}
\]
\[
J_n=\frac{n\left(1+\frac{%
\nep^{%
-\frac{n\pi}{2}
}%nep^
}%dfrac2num
{n}%dfrac2den
\right)}%dfrac1num
{n^2
 \left(1+\frac{1}{n^2}\right)
}
=\frac{%
1+
\frac{
\nep^{-\frac{n \pi}{2}}
}
{n}
}%
{
n(1+\frac{1}{n^2})
}.
\]
Donc:
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} I_n=0
\]
et
\[
\lim\limits_{n \to +\infty} J_n=0.
\]
\end{questions}
