\begin{questions}
\item \textit{Vrai}. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t)=\dfrac{\nep^t}{\nep^t+1}$. La fonction $f$ est continue et positive sur $[\ln n~;\ln (n+1)]$. On intègre avec les bornes dans l'ordre croissant donc, d'après le théorème de positivité de l'intégrale, $I_n$ est positive.


\item \textit{Faux}. La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[\ln n~;\ln (n+1)]$ donc elle admet des primitives sur cet intervalle. Elle est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ donc elle admet pour primitive la fonction $F$ définie sur $\R$ par\linebreak $F(t)=\ln \left(\nep^t +1\right)$. On en déduit que, pour tout entier naturel non nul $n$,
\[ I_n=\ln (n+2)-\ln(n+1)=\ln \frac{n+2}{n+1}. \]

\item \textit{Vrai}. Pour étudier le sens de variation de la suite $(I_n)$, on cherche le signe de $I_{n+1}-I_n$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[
I_{n+1}-I_n =\ln \dfrac{(n+3)(n+1)}{(n+2)^2}.
\]
Or, $(n+3)(n+1)=n^2+4n+3=(n+2)^2-1$.

Ainsi,$(n+3)(n+1)<(n+2)^2$.

Par suite,
\[
\dfrac{(n+3)(n+1)}{(n+2)^2} <1\qquad\text{et}\qquad\ln \dfrac{(n+3)(n+1)}{(n+2)^2}<0.
\]
On en déduit que $I_{n+1}-I_n$ est négatif et la suite $(I_n)$ est décroissante.

\item \textit{Faux}. On transforme la somme $I_1+I_2+\cdots+ I_n$ en appliquant la relation de Chasles :
\[
\begin{aligned}
I_1+I_2+\cdots+I_n &= \int_0 ^{\ln (n+1)} \frac{\nep^t}{\nep^t+1}\dd t\\
&= \big[\ln (\nep^t+1)\big]_0^{\ln(n+1)}\\
&= \ln(n+2)-\ln 2\\
& = \ln \dfrac{n+2}{2}.
\end{aligned}
\]
\end{questions}
