La fonction cosinus est continue sur $[0~;\pi]$ donc elle admet des primitives sur $[0~;\pi]$ et l'intégrale $I_1$ existe.\par
De même, la fonction sinus est continue sur $\left[0~;\dfrac{\pi}{2}\right]$ donc elle admet des primitives sur cet intervalle et l'intégrale $I_2$ existe.
\Par
\begin{minipage}[t]{5cm}
Calcul de $I_1$ :
\[
\begin{aligned}
I_1&=\int_{0}^{\pi} \cos t \dd t \\
&=\left[ \sin t \right]_0^{\pi} \\
&=\sin{\pi}-\sin{0} \\
&=0.
\end{aligned}
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{5cm}
Calcul de $I_2$ :
\[
\begin{aligned}
I_2&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}
\sin \left(t+\dfrac{\pi}{4} \right) \dd t \\
&=\left[-\cos \left(t+\dfrac{\pi}{4} \right) \right]_0^\frac{\pi}{2}\\
&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
&=\sqrt{2}.
\end{aligned}
\]
\end{minipage}
