\begin{questions}
\item $F$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Calculons la dérivée de $F$ :
\[
F'(x)=2\ln x+(2x+3)\times\dfrac{1}{x}+1=2\ln x+2+\dfrac{3}{x}+1=f(x).
\]
La fonction $F$ est donc bien une primitive de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.

\item La fonction $f$ est positive sur $[1\, ; 3]$. L'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=3$ est donc égale à l'intégrale :
\begin{align*}
\int_1^3 f(x)\dd x & = \big[F(x)\big]_1^3\\
& = F(3)-F(1)\\
& = (9\ln 3+3)-(5\ln 1+1)\\
& = 9\ln 3+2.
\end{align*}


\begin{methode}
Il est souvent demandé de vérifier qu'une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$. Dans ce cas, il suffit de dériver $F$ et vérifier que l'on obtient effectivement $f$. Il est totalement inutile d'essayer de trouver par soi-même une primitive de $f$ et cela n'est parfois même pas possible avec les outils disponibles d'après les programmes.
\end{methode}
\end{questions}
