La fonction : $t\mapsto 1-2\nep^t $ est continue sur $[-\ln 2; \ln 3]$ donc elle admet des primitives sur $[-\ln 2; \ln 3]$ et l'intégrale $I_5$ existe.\Par
De même, la fonction : $t\mapsto \dfrac{2t}{\sqrt{1+t^2}}$ est continue sur $[0, 1]$ donc elle admet des primitives sur $[0, 1]$ et l'intégrale $I_6$ existe.\par
On remarque que la fonction $t\mapsto \dfrac{2t}{\sqrt{1+t^2}}$ est de la forme $\dfrac{u'(t)}{\sqrt{u(t)}}$ en posant \linebreak $u(t)=1+t^2$. Elle admet donc une primitive de la forme $2\sqrt{u(t)}$.
\Par
\begin{minipage}[t]{5cm}
Calcul de $I_5$.
\[
\begin{aligned}
I_5&=\int_{-\ln 2}^{\ln 3}(1-2\nep^t) \dd t \\
&=\left[ t-2\nep^t \right]_{-\ln 2}^{\ln 3} \\
&=\ln 3+\ln 2-2\nep^{\ln 3}+2\nep^{-\ln 2} \\
&=\ln6-2\nep^{\ln3}+2\nep^{\ln\frac{1}{2}}\\
&=\ln6-6+2\times\frac{1}{2}\\
&=\ln 6-5.
\end{aligned}
\]
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{5cm}
Calcul de $I_6$.
\[
\begin{aligned}
I_6&=\int_0^{1}
\left(\dfrac{2t}{\sqrt{1+t^2}} \right) \dd t \\
&=\left[ 2\sqrt{1+t^2} \right]_0^1\\
&=2\sqrt{2}-2.
\end{aligned}
\]
\end{minipage}
