\begin{questions}
\item Par définition,
\begin{align*}
I_0 & = \int_0^\pi \nep^0x\sin(x)\text{d}x = \int_0^\pi \sin(x)\text{d}x \\
& = \big[-\cos(x)\big]_0^\pi \\
& = -\cos(\pi)+\cos(0)\\
& =-(-1)+1=2.
\end{align*}

\item
\begin{questions}
\item Sur $[0;\pi]$, $\nep^{-nx} > 0$ pour tout entier naturel $n$, et $\sin(x) \geqslant 0$.

Ainsi, $\nep^{-nx}\sin(x) \geqslant 0$. Par conséquent, par propriété  de l'intégrale sur la conservation des signes, $I_n \geqslant 0$.

\Par

\item $\begin{aligned}[t]
I_{n+1}-I_n & = \displaystyle\int_0^\pi \nep^{-(n+1)x}\sin(x)\text{d}x - \int_0^\pi \nep^{-nx}\sin(x)\text{d}x\\
& = \int_0^\pi \big( \nep^{-(n+1)x}\sin(x) - \nep^{-nx}\sin(x) \big)\text{d}x\\
& \text{(par linéarité de l'intégrale)}\\
& = \int_0^\pi \nep^{-nx}\sin(x)\big(\nep^{-x} - 1 \big)\text{d}x\\
\end{aligned}$

Sur $[0;\pi]$,
\begin{itemize}
\item $\nep^{-nx}\sin(x) \geqslant 0$;
\item $0 < \nep^{-x} \leqslant 1 \iff -1 < \nep^{-x}-1 \leqslant 0$.
\end{itemize}

Ainsi, $\nep^{-nx}\sin(x)\big(\nep^{-x}-1\big) \leqslant 0$.

Donc, par propriété de l'intégrale, $I_{n+1}-I_n \leqslant 0$.

\Par

\item Nous venons de montrer que la suite $(I_n)$ est minorée (par 0) et décroissante.

Ainsi, d'après le théorème de convergence des suites monotones, $(I_n)$ converge.
\end{questions}

\Par

\item
\begin{questions}
\item Pour tout réel $x$ dans $[0;\pi]$,
\begin{align*}
0 \leqslant \sin(x) \leqslant 1 & \iff \nep^{-nx} \times 0 \leqslant \nep^{-nx}\sin(x) \leqslant \nep^{-nx}\times 1\\
& \iff 0 \leqslant \nep^{-nx}\sin(x) \leqslant \nep^{-nx} \\
& \iff \int_0^\pi 0 \text{d}x \leqslant \int_0^\pi \nep^{-nx}\sin(x) \text{d}x \leqslant \int_0^\pi \nep^{-nx} \text{d}x \\
& \iff 0 \leqslant I_n \leqslant \int_0^\pi \nep^{-nx} \text{d}x.
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
\int_0^\pi \nep^{-nx} \text{d}x & = \left[ -\dfrac{1}{n}\nep^{-nx} \right]_0^\pi\\
& = -\dfrac{1}{n}\nep^{-n\pi} - \left( -\dfrac{1}{n}\nep^{-n\times0} \right)\\
& = -\dfrac{\nep^{-n\pi}}{n}+\dfrac{1}{n}\\
& = \dfrac{1-\nep^{-n\pi}}{n}.
\end{aligned}$

\item Des questions \textbf{(a)} et \textbf{(b)} précédentes, on conclut que:
\[
\forall n\in\N,\qquad 0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1-\nep^{-nx}}{n}.
\]
Or, $\lim\limits_{n\to+\infty}\big(1-\nep^{-nx}\big) = 1-0 = 1$ donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1-\nep^{-nx}}{n}=0$.

Ainsi, d'après le théorème des gendarmes,
\[
\lim\limits_{n\to+\infty} (In) =0.
\]
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item
\begin{itemize}
\item Effectuons une première intégration par parties sur $I_n = \int_0^{\pi} \nep^{- nx}\sin(x)\:\text{d}x$ en posant:
\[
\begin{array}{lll}
u(x) = \nep^{-nx} & \qquad & u'(x)=-n\nep^{-nx}\\
v'(x) = \sin(x) & \qquad & v(x)=-\cos(x)
\end{array}
\]
On a alors:
\begin{align*}
I_n & = \big[ uv(x) \big]_0^\pi - \int_0^\pi u'v(x)\text{d}x\\
    & = \big[-\nep^{-nx}\cos(x) \big]_0^\pi - \int_0^\pi n\nep^{-nx}\cos(x) \text{d}x\\
    & = -\nep^{-n\pi}\cos(\pi) + \nep^{-n\times0}\cos(0) - nJ_n\\
    & = \nep^{-n\pi}+1 - nJ_n.
\end{align*}

\item Effectuons maintenant une intégration par parties sur l'intégrale\\$I_n = \int_0^{\pi} \nep^{- nx}\sin(x)\:\text{d}x$ en posant:
\[
\begin{array}{lll}
u'(x) = \nep^{-nx} & \qquad & u(x)=-\dfrac{1}{n}\nep^{-nx}\\
v(x) = \sin(x) & \qquad & v(x)=\cos(x)
\end{array}
\]
On a alors:
\begin{align*}
I_n & = \big[ uv(x) \big]_0^\pi - \int_0^\pi u'v(x)\text{d}x\\
    & = \left[-\frac{1}{n}\nep^{-nx}\sin(x) \right]_0^\pi - \int_0^\pi -\nep^{-nx}\cos(x) \text{d}x\\
    & = -\frac{1}{n}\nep^{-n\pi}\sin(\pi) + \frac{1}{n} \nep^{-n\times0}\sin(0) + J_n\\
    & = \dfrac{1}{n} J_n.
\end{align*}
\end{itemize}

\item Des deux égalités précédentes, on déduit que pour tout entier naturel $n$ non nul,
\begin{align*}
\nep^{-n\pi}+1 - nJ_n = \dfrac{1}{n} J_n & \iff \left(\dfrac{1}{n}+n\right) J_n = 1+\nep^{-nx}\\
& \iff J_n = \dfrac{ 1+\nep^{-nx} }{n+\tfrac{1}{n}}\\
& \iff J_n = \dfrac{ n\left(1+\nep^{-nx}\right) }{n^2+1}.
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
I_n & = \dfrac{1}{n}J_n = \dfrac{1+\nep^{-nx}}{n^2+1}.
\end{align*}
\end{questions}

\item Le programme dûment complété est le suivant:

\begin{listing}{}{trigo-ipp-an2024-corr.py}\end{listing}

Pour information, on obtient $n=4$, ce qui signifie que $I_3 \geqslant 0,1$ et $I_4 < 0,1$.
\end{questions}
