\begin{questions}
\item Réponse \choix[c]. En effet, la fonction cosinus est croissante sur $[\pi~;2\pi]$, donc $f$ est croissante sur $\left[ \dfrac{3\pi}{4} ~; \pi \right]$.

\item Réponse \choix[b]. En effet, $g'(x) = 2\cos 2x$ donc, à $2\pi$ près :
\[
g'(x) > 0 \Leftrightarrow  2x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2} ~; \dfrac{\pi}{2} \right]
 \Leftrightarrow  x \in \left[ -\dfrac{\pi}{4} ~; \dfrac{\pi}{4} \right].
 \]

\item Réponse \choix[b]. Cette fonction est périodique de période $2\pi$, donc on peut l'étudier sur $[-\pi~;\pi]$.
\[
\begin{aligned}
h'(x) &= \cos x -\sin x \\
h'(x) &> 0 \Leftrightarrow \cos x > \sin x \Leftrightarrow x \in \left[ -\dfrac{3\pi}{4} ~; \dfrac{\pi}{4} \right] .
\end{aligned}
\]
On obtient donc le tableau suivant :

\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{array}{|C|lcccccr|}
\hline\tabulartitle
x         & -\pi &         &-\frac{3\pi}{4} &         & \frac{\pi}{4} &         & \pi \\\hline
h'(x)&         & -        &0        &+        &0        &-        & \\\hline
        &-1        &        &         &        & \sqrt{2} & &\\
h(x)&        &\searrow&        &\nearrow&         &\searrow &\\
        &         &        &-\sqrt{2}        &        &        &        &-1\\\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\item Réponse \choix[c]. \'Etudions la fonction sur $[-\pi~;\pi]$ dans un premier temps.
\[
\begin{aligned}
k'(x) &= -3\sin 3x \\
k'(x) > 0 &\Leftrightarrow \sin (3x) <0 \\
&\Leftrightarrow 3x \in ]-\pi~;0[ \pod{2\pi}\\
&\Leftrightarrow x \in \left] -\dfrac{ \pi}{3}~; 0\right[ \pod{\dfrac{2\pi}{3}} \\
&\Leftrightarrow x \in \left] -\pi~; -\dfrac{2\pi}{3} \right[ \cup \left] -\dfrac{\pi}{3}~;0 \right[ \cup \left] \dfrac{\pi}{3}~;\dfrac{2\pi}{3} \right[.
\end{aligned}
\]
On obtient donc le tableau suivant :
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\hspace*{-2em}
\begin{array}{|C|lcc<{\!\!\!\!\!}c<{\!\!}ccccccc<{\!\!}c<{\!}ccr|}\hline\tabulartitle
x         & -\pi &         &-\frac{2\pi}{3} &-2 &         & -\frac{\pi}{3} &         & 0 &          &\frac{\pi}{3} &         & 2 & \frac{2\pi}{3} &         & \pi \\\hline
k'(x)&0        & +        &0        &\vline&-        &0        &+        &0        &-        &0        &+        &\vline&0        &-        &0 \\\hline
        &        &        &1         &\vline&        &  &         &1        &        &        &        &\vline&1        &        &         \\
k(x)&        &\nearrow&        &\vline&\searrow&         &\nearrow &         &\searrow        &        &\nearrow        &\vline&        &\searrow        &\\
        &-1 &        &        &\vline&        &-1        &        &        &        &-1        &        &\vline&        &        &-1\\\hline
\end{array}
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}

Il y a deux minimums locaux sur $[-2~;2]$: $-1$ et 1.

\begin{attention}
Ne pas se laisser piéger : $\dfrac{2\pi}{3}$ est très proche de $2$, et si on se fie à la calculatrice, on peut croire que le maximum est atteint en $2$.
\end{attention}
\end{questions}
