Posons, pour $x\in[1;2]$:
\[
u(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2
\quad
\text{et}
\quad
v(x)=\ln x.
\]
On a alors:
\[
u'(x)=1+x
\quad
\text{et}
\quad
v'(x)=\dfrac{1}{x}.
\]
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur l'intervalle $[1, 2]$ et les fonctions $u'$ et $v'$ sont continues sur sur l'intervalle $[1, 2]$.

On peut donc appliquer le théorème d'intégration par parties :
\begin{align*}
I&=\int_1^2 (x+1)\ln x \dd x \\
&=\left[\dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln x \right]_1^2-\frac{1}{2} \int_1^2
\dfrac{(x+1)^2}{x} \dd x
\end{align*}

\begin{align*}
I&=\dfrac{9\ln 2}{2}-\dfrac{1}{2}\int_1^2 \left(x+2+\dfrac{1}{x}
\right)\dd x \\
&=\dfrac{9\ln 2}{2}-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{2}x^2+2x+\ln x
\right]_1^2 \\
&=4\ln 2-\dfrac{7}{4}.
\end{align*}
