\begin{questions}
\item D'après le cercle trigonométrique,
\[
\sin X\geqslant\dfrac{1}{2}\text{ pour }\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant X\leqslant \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\quad , \quad k\in\Z.
\]

Cela signifie que :
\begin{align*}
\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geqslant\dfrac{1}{2} & \Leftrightarrow \dfrac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant 3x-\dfrac{\pi}{6}\leqslant\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\\
& \Leftrightarrow \dfrac{\pi}{3}+2k\pi\leqslant 3x\leqslant \pi+2k\pi\\
& \Leftrightarrow\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}.
\end{align*}

Si l'on ne veut que les solutions dans $[-\pi~;\pi]$, les valeurs extrêmes que l'on peut prendre pour $k$ vérifient : $-\pi\leqslant\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}$, c'est-à-dire $-\dfrac{5}{3}\leqslant k$, et comme $k$ est entier, $-1\leqslant k$, et : $\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2k\pi}{3}\leqslant\pi$, soit $k\leqslant1$.

$k$ peut donc prendre les valeurs $-1$, 0 et 1.

L'ensemble solution est donc :
\[
S=\left[-\dfrac{5\pi}{9}~;-\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{9}~;\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{9}~;\pi\right].
\]

\item On pose $X=\cos x$. L'équation devient alors : $2X^2+3X+1=0$.

Le discriminant est égal à 1 ; l'équation admet donc deux solutions : $X=-1$ et $X=-\dfrac{1}{2}$.

Alors, l'équation $2\cos^2x+3\cos x+1=0$ équivaut à :
\[
\cos x=-1\qquad\text{ou}\qquad\cos x=-\dfrac{1}{2}\;,
\]
c'est-à-dire :
\[
x=-\pi+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{2\pi}{3}+2k'\pi\]
\[\text{ou}\quad x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k''\pi\quad,\quad k\in\Z,\ k'\in\Z,\ k''\in\Z.
\]
L'ensemble des solutions de l'équation dans l'intervalle $[-\pi~;3\pi]$ est donc :
\[ S=\left\lbrace -\pi~; -\dfrac{2\pi}{3}~; \dfrac{2\pi}{3}~; \pi~; \dfrac{4\pi}{3}~;\dfrac{8\pi}{3}~; 3\pi\right\rbrace.\]
\end{questions}
