On pose $X=\sin x$.
\begin{questions}
\item \label{ch5ex7q1}Le polyn\^ome $2X^2+\left(2-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}$ a pour discriminant $7+4\sqrt{3}$, que l'on factorise sous la forme $\left(2+\sqrt{3}\right)^2$ (en utilisant l'aide de l'énoncé).

L'équation $2X^2+\left(2-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}=0$ admet donc deux solutions : $X=-1$ et $X=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

L'équation $2\sin^2x+\left(2-\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}=0$ équivaut donc à :
\[
\sin x=-1\qquad\text{ou}\qquad\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
\]
Dans l'intervalle $]-\pi~;\pi[$, $\sin x=-1$ pour $x=-\dfrac{\pi}{2}$, et $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ pour $x=\dfrac{\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{2\pi}{3}$.

L'équation admet donc trois solutions dans $]-\pi~;\pi[$ : $-\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.

\item  Grâce aux calculs de la question \ref{ch5ex7q1}, on connaît les racines de l'expression $2X^2+\left(2-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}$.

Comme le coefficient de $X^2$ est positif, on sait que cette expression est inférieure ou égale à 0 lorsque $X$ est compris entre les racines, c'est-à-dire : $-1\leqslant X\leqslant\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

En revenant à la variable $x$, cela donne : $-1\leqslant \sin x\leqslant\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
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Le cercle trigonométrique montre que les solutions dans $]-\pi~;\pi[$ de cette double inéquation sont tous les réels $x$ tels que :
\[
x\in\left]-\pi~;\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{2\pi}{3}~;\pi\right[.
\]
\begin{center}
\includegraphics{189_trigo-06}
\end{center}
\end{questions}
