\qrset{height=1.1cm,version=5}\rput(-0.9,-0.3){
\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch06exoInegalite}}}
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\begin{questions}
\item
La fonction $\cos$ est deux fois dérivable sur $\R$ et la fonction :\linebreak[4]
$x\longmapsto 1-\dfrac{x^2}{2}$ est deux fois dérivable sur $\R$ comme fonction polynôme donc la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.

\item
Pour tout réel $x$,
\[f'(x)=-\sin{x}+x\;,\]
\[f''(x)=1-\cos{x}.\]

Comme pour tout réel $x$, $\cos{x}\leqslant1$, on en déduit que $f''(x)$ est positif sur $\R$ et ne s'annule que pour $x=2k\pi$ où $k\in\Z$.
Il en résulte que la fonction $f'$ est strictement croissante sur $\R$.

Comme $f'(0)=0$ et $f'$ est strictement croissante sur $\R$, on peut en déduire que $f'$ est strictement négative sur $\left]-\infty~;0\right[$ et strictement positive sur $\left]0~;+\infty\right[$.

\item
D'après l'étude du signe de $f'$ obtenu à la question précédente, on en déduit que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty~;0\right[$ et strictement croissante sur $\left]0~;+\infty\right[$.

La fonction $f$ admet un minimum en 0 et ce minimum vaut $f(0)=0$. Il en résulte que, pour tout réel $x$, on a $f(x)\geqslant f(0)$ soit $f(x)\geqslant 0$.

Par conséquent, pour tout réel $x$, $\cos{x}-\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right)\geqslant0$, d'où finalement :
\[1-\dfrac{x^2}{2}\leqslant\cos{x}.\]

\item
En admettant l'inégalité donnée par le texte et en utilisant le résultat de la question précédente, on obtient l'encadrement, valable pour tout réel $x$ :
\[1-\dfrac{x^2}{2}\leqslant\cos{x}\leqslant1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}.\]
On encadre alors $g(x)$ :
\[\dfrac{1}{2}-\dfrac{x^2}{24}\leqslant g(x)\leqslant
 \dfrac{1}{2}.\]
Or,
\[\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x^2}{24}\right)=\dfrac{1}{2}.\]
On en déduit d'après le théorème de limite par encadrement que :
\[\lim_{x\to 0}g(x)=\dfrac{1}{2}.\]
\end{questions}
