\label{anagrammes}
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\psframebox{\qrcode{https://media.prepamath.fr/ILTM2026ch09exoAnagrammes}}}
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\begin{questions}
\item Le mot \og ABYME \fg{} contient cinq lettres distinctes. Le nombre d'anagrammes est donc égal au nombre de permutations de ces cinq lettres.

\Par

Il y a donc $5!=120$ anagrammes au mot \og ABYME \fg.

\item Le mot \og NAPPE \fg{}  contient cinq lettres, mais elles ne sont pas toutes distinctes : il y a quatre lettres distinctes. Ainsi, parmi les 120 permutations, il y en a qui sont identiques.

Comme il y a deux lettres identiques, il y aura deux fois les mêmes permutations (par exemple \og P$_1$P$_2$NAE \fg{} et \og P$_2$P$_1$NAE \fg{} donnent l'anagramme \og PPNAE \fg). Il faut donc diviser par 2 le nombre de permutations.

\Par

Il y a donc $\dfrac{5!}{2}=60$ anagrammes différents au mot \og NAPPE \fg.

\item Le mot \og KAYAK \fg{} comporte cinq lettres dont trois sont distinctes.\linebreak Selon le même principe expliqué à la question précédente, il faut diviser les 120 permutations par 2 (car il y a deux \og K \fg) et encore par 2 (car il y a deux \og A \fg).

\Par

Il y a donc $\dfrac{5!}{2\times2}=30$ anagrammes différents au mot \og KAYAK \fg.

\item Le mot \og UBUESQUE \fg{} comporte huit lettres dont deux sont répétées : le \og U \fg{} est présent trois fois et le \og E \fg{} l'est deux fois. S'il faut diviser le nombre de permutations par 2 (car il y a deux \og E \fg), il ne suffit pas de diviser encore par 3 car il y a trois \og U \fg. En effet, il faut diviser par $3!=6$ car il y a $3!$ façons de disposer les lettres $U_1U_2U_3$.

Ainsi, il y a $\dfrac{8!}{2 \times 3!}=\numprint{3360}$ anagrammes différents au mot \og UBUESQUE \fg.
\end{questions}

\begin{Remarque}on peut raisonner différemment en disant que trouver une anagramme du mot revient à :
\begin{itemize}
\item placer 3 lettres \og U \fg{} parmi les 8 positions possibles : il y a $\binom{8}{3}$ possibilités;
\item placer 2 lettres \og E \fg{} parmi les $8-3=5$ positions restantes : il y a $\binom{5}{2}$ possibilités;
\item trouver le nombre d'anagrammes sur les $5-2=3$ lettre restantes : il y a $3!$ possibilités.
\end{itemize}
On arrive alors à $\dbinom{8}{3}\times\dbinom{5}{2}\times3!=\numprint{3360}$ anagrammes différents.
\end{Remarque}
