
\subsectionnn{Partie A}

\begin{methode}
Au baccalauréat, il est très fréquent d'avoir un exercice de probabilités en au moins deux parties.

Il est conseillé de prendre connaissance du sujet de chaque partie afin de se faire une idée de ce qui nous est demandé.

\Par

Ici, la partie A traite de la loi binomiale; on peut ainsi écrire au brouillon les formules vues dans le cours (espérance, variance et écart-type) et se remémorer rapidement les propriétés importantes et méthodes (linéarité de l'espérance, traduction mathématique des termes \og au plus \fg{} et \og au moins \fg, etc.). Ceci permet éventuellement de raisonner plus vite et mieux au fil des questions.
\end{methode}

\begin{questions}
\item Chaque lancer constitue une expérience de Bernoulli, dont le succès est \og le panier est marqué \fg, de probabilité $p=0,32$ (d'après l'énoncé).

La série de 15 lancers \textit{indépendants} constitue donc un schéma de\linebreak Bernoulli.

\Par

Ainsi, le nombre $N$ de succès obtenus à l'issue de ce schéma est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et \mbox{$p=0,32$}.

\item La probabilité que Victor réussisse \textit{exactement} 4 paniers est $P(N=4)$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve:
\[
P(N=4)\approx0,206.
\]

\item La probabilité que Victor réussisse \textit{au plus} 6 paniers lors de cette série est $P(N \leqslant 6)$.
\begin{aretenir}
\og Au plus 6 \fg{} signifie \og moins de 6, ou 6 au maximum \fg.

\og Au moins 6 \fg{} signifie \og 6 ou plus de 6 \fg.
\end{aretenir}

À la calculatrice, on trouve:
\[
P(N \leqslant6) \approx 0,828.
\]

\item L'espérance de la variable $N$ est, d'après le cours:
\[
E(N) = n \times p = 15 \times 0,32 = 4,8.
\]

\item
\begin{questions}
\item Un panier rapporte 3 points. Ainsi, si Victor marque $N$ paniers à 3 points, le nombre total de points est:
\[
T = 3N.
\]
Nous avons bien exprimé $T$ en fonction de $N$.

\item D'après la linéarité de l'espérance,
\[
E(T) = E(3N) = 3\times E(N) = 3 \times 4,8 = 14,4.
\]

Cela signifie que, sur un grand nombre de séries de 15 lancers,\linebreak Victor rapporte en moyenne 14,4 points par série.

\item On cherche à déterminer $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$.

Pour cela, nous allons nous ramener à la variable aléatoire $N$, qui suit une loi binomiale (et donc sera plus facile à manipuler).
\begin{align*}
P(12 \leqslant T \leqslant 18) & = P(12 \leqslant 3N \leqslant 18)\\
& = P(4 \leqslant N \leqslant 6)\\
&  \approx 0,586\text{ (à la calculatrice)}.
\end{align*}

\end{questions}
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

\begin{methode}
Dans cette partie, nous voyons d'un coup d'œil que le thème abordé est \textit{la somme de variables aléatoires indépendantes et loi des grands nombres}.

On peut alors, avant de se pencher sérieusement sur les questions, se\linebreak remémorer les quelques formules du cours sur la moyenne de variables aléatoires indépendantes, ainsi que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la loi faible des grands nombres (qui vont sans doute nous servir).
\end{methode}

\begin{questions}
\item Ici, on prend $n=50$.
\begin{questions}
\item $M_{50}$ représente la moyenne de toutes les variables aléatoires $X_1$, $X_2$, ..., $X_{50}$, donc le nombre moyen de points marqués par matchs par Victor sur ces 50 matchs.

\item
\begin{itemize}
\item D'après la linéarité de l'espérance, on a:
\[
E(M_{50}) = \dfrac{E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_{50})}{50} = E(X) = 22
\]
car les $X_k$ suivent toutes la même loi de probabilité que $X$.

\item Les variables aléatoires $X_k$ sont indépendantes donc, d'après le cours,
\[
V(M_{50}) = \dfrac{1}{50^2}\times 50 \times V(X) = \dfrac{65}{50}=1,3.
\]
\end{itemize}

\item L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev stipule que:
\[
\forall \delta > 0,\ \quad
P(|M_{50}-E(M_{50})| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(M_{50})}{\delta^2}
\]
Nous souhaitons démontrer que:
\[
P\left(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}
\]
ce qui nous pousse à prendre $\delta = 3$ dans l'inégalité précédente:
\[
P(|M_{50}-E(M_{50})| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{V(M_{50})}{3^2}
\]
soit:
\[
P(|M_{50}-22| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{1,3)}{9}
\]
ce qui donne bien:
\[
P\left(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}
\]

\item On souhaite ici se pencher que $P(19 < M_{50} < 25)$.

\Par

Reprenons l'inégalité obtenue à la question précédente, et passons par l'événement contraire:
\begin{align*}
P\left(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90} & \iff 1-P\left(\overline{\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3}\right) \leqslant \dfrac{13}{90}\\
& \iff 1-P(|M_{50}-22| < 3) \leqslant \dfrac{13}{90}\\
& \iff 1 - P(|M_{50}-22| \leqslant 2) \leqslant \dfrac{13}{90}\\
& \iff 1 - P(-2 \leqslant M_{50}-22 \leqslant 2) \leqslant \dfrac{13}{90}\\
& \iff 1 - P(20 \leqslant M_{50} \leqslant 24) \leqslant \dfrac{13}{90}\\
& \iff 1 - P(19 < M_{50} < 25) \leqslant \dfrac{13}{90}\\
& \iff 1 - \dfrac{13}{90} \leqslant P(19 < M_{50} < 25)\\
& \iff P(19 < M_{50} < 25) \geqslant \dfrac{77}{90}.
\end{align*}
Or, $\dfrac{77}{90}\approx0,856$ donc:
\[
P(19 < M_{50} < 25) > 0,85.
\]
\end{questions}

\item Dans cette question, $n$ n'est plus égal à 50; il est quelconque.

\Par

L'inégalité de concentration donne, en prenant:
\[
P(|M_{n}-E(M_{n})| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(M_{n})}{\delta^2n}.
\]
Avec $\delta=3$, $E(M_n)=E(X)=22$ et $V(M_n)=V(X)=65$, on a:
\[
P(|M_n-22| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{65}{9n}.
\]
S'il existe un entier $n$ tel que $P\big(\left|M_{n}-22\right| \geqslant 3\big)< 0,01$ alors:
\begin{align*}
\dfrac{65}{9n} < 0,01 & \iff \dfrac{9n}{65} > 100\\
& \iff n > 100 \times \dfrac{65}{9}\\
& \iff n \geqslant 723.
\end{align*}

L'affirmation:

\og Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P\big(\left|M_{n}-22\right| \geqslant 3\big)< 0,01$\fg{}

est donc \textit{fausse}.
\end{questions}
