\subsectionnn{Partie A}
\begin{methode}
D'un coup d'œil, on peut voir que cette partie concerne la résolution d'une équation différentielle de la forme $y' + ay = b$. Il est donc utile d'écrire dès le départ sur le brouillon, avant même de se pencher sérieusement sur les questions, la formule vue en cours qui donne les solutions à une telle équation.
\end{methode}

\begin{questions}
\item Pour montrer que $h$ est solution de $(E_1)$, il faut montrer que:
\[
h'+0,48h=\dfrac{1}{250}.
\]
Calculons alors:
\[
h' + 0,48h  = 0 + 0,48 \times \dfrac{1}{120}
            = \dfrac{48}{\numprint{12000}}
            = \dfrac{1}{250}.
\]
$h$ est donc bien solution de $(E_1)$.

\item D'après le cours, les solutions de l'équation $y'+ay=0$ sont:
\[
y_0(t)=C\nep^{-at}\quad,\quad C\in\R.
\]
Ainsi, celles de l'équation différentielle $y' + 0,48y = 0$ sont:
\[
y_0(t)=C\nep^{-0,48t}\quad,\quad C\in\R.
\]
\begin{attention}
Il est clairement dit dans l'énoncé: \og où $y$ est une fonction de la variable $t$ appartenant à l'intervalle $[0;+\infty[$ \fg{} donc la variable n'est pas $x$, mais $t$.
\end{attention}

\item D'après le cours, les solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$ sont:
\[
y(t)=C\nep^{at}-\dfrac{b}{a}.
\]
Alors, les solutions de l'équation différentielle $y' + 0,48y = \dfrac{1}{250}$ sont:
\[
y(t)=C\nep^{-0,48t}-\dfrac{\tfrac{1}{250}}{-0,48}\quad,\quad C\in\R
\]
soit:
\[
y(t)=C\nep^{-0,48t}+\dfrac{1}{120}\quad,\quad C\in\R.
\]
\end{questions}

\subsectionnn{Partie B}

\begin{methode}
En lisant en diagonale l'énoncé de cette partie, on s'aperçoit qu'elle traite d'une application aux équations différentielles. Il y a donc du contexte (auquel il faut faire attention); il est important de ne pas lire trop vite un tel énoncé, quitte à mettre plus de temps que prévu initialement à la résolution de l'exercice.
\Par
Par exemple, bien prendre conscience des unités (ici, $p(t)$ est exprimé en \textit{millier d'individus}, et $t$ est exprimé en \textit{heures}).
\end{methode}

\begin{questions}
\item D'après l'énoncé, $p=\dfrac{1}{y}$ donc $p'=-\dfrac{y'}{y^2}$. Ainsi,
\begin{align*}
p\text{ est solution de }(E_2) & \Longrightarrow p' = \dfrac{1}{250}p(120-p)\\
& \Longrightarrow -\dfrac{y'}{y^2} = \dfrac{1}{250}\times\dfrac{1}{y}\left(120-\dfrac{1}{y} \right)\\
& \Longrightarrow -y' = \dfrac{1}{250}\times\dfrac{1}{y}\left(120-\dfrac{1}{y} \right) \times y^2\\
& \Longrightarrow -y' = \dfrac{y}{250}\left(120-\dfrac{1}{y}\right)\\
& \Longrightarrow -y' = \dfrac{12}{25}y-\dfrac{1}{250}\\
& \Longrightarrow y' = -0,48y + \dfrac{1}{250}\\
& \Longrightarrow y' + 0,48y = \dfrac{1}{250}\\
& \Longrightarrow y\text{ est solution de }(E_1).
\end{align*}

\item On admet dans cette question la réciproque de ce qui a été démontré dans la question précédente, à savoir que:
\[
y\text{ est solution de }(E_1) \Longrightarrow p\text{ est solution de }(E_2).
\]
Dans la partie A, nous avons montré que:
\[
y\text{ est solution de }(E_1) \iff y(t) = C\nep^{-0,48t}+\dfrac{1}{120}\quad,\quad C\in\R.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
     & p(t) = \dfrac{1}{y(t)}\text{ est solution de }(E_1)\\
\iff & p(t) = \dfrac{1}{C\nep^{-0,48t}+\tfrac{1}{120}}\text{ est solution de }(E_1),\ C\in\R\\[8pt]
\iff & p(t) = \dfrac{120}{120C\nep^{-0,48t}+1}\text{ est solution de }(E_1),\ C\in\R\\[8pt]
\iff & p(t) = \dfrac{120}{K\nep^{-0,48t}+1}\text{ est solution de }(E_1),\text{ avec }K=120C\in\R.\\
\end{align*}

\item On sait que $p(0)=30$. Ainsi,
\begin{align*}
\dfrac{120}{K\nep^{-0,48\times0}+1}=30 & \iff 120 = 30K\nep^{-0,48t}+30\\
& \iff 30K\nep^{0} = 90\\
& \iff K = 3.
\end{align*}
Finalement, on a:
\[
p(t) = \dfrac{120}{3\nep^{-0,48t}+1}.
\]

\item $\lim\limits_{t\to+\infty}\nep^{-0,48t}=\lim\limits_{T\to-\infty}\nep^T=0$.

Ainsi,  $\lim\limits_{t\to+\infty} p(t)=\dfrac{120}{3\times0+1}=120$.

\Par

Cela signifie, dans le contexte de l'exercice, qu'à très long terme, la population bactérienne se rapprochera de \numprint{120000} bactéries.

\item Dans cette question, on cherche la plus petite valeur de $t$ pour laquelle:
\begin{align*}
p(t) > 60 & \iff \dfrac{120}{3\nep^{-0,48t}+1} > 60\\
          & \iff \dfrac{3\nep^{-0,48t}+1}{120} < \dfrac{1}{60}\\
          & \iff 3\nep^{-0,48t}+1 < 2\\
          & \iff 3\nep^{-0,48t} < 1\\
          & \iff \nep^{-0,48t} < \dfrac{1}{3}\\
          & \iff \ln\big(\nep^{-0,48t}\big) < \ln\left(\dfrac{1}{3}\right)\\
          & \iff -0,48t < -\ln(3)\\
          & \iff t > \dfrac{\ln(3)}{0,48}\\
          & \iff t > 2,2887756.
\end{align*}
Ainsi, la population dépassera \numprint{60000} bactéries après 2,289 heures, soit $2\text{ h } 0,289\times60\text{ min} = 2\text{ h }17\text{ min.}$
\end{questions}
