IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — page 1 — #1

IL1MTC

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — page 2 — #2

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 1 — #3 4^{Chapitre}

Croissance exponentielle

Plan du chapitre

1. Introduction

2. Suites géométriques

3. Fonctions exponentielles

4. Racine n-ième

5. Taux d’évolution moyen

1 Introduction

Lorsque les modèles mathématiques génèrent des valeurs augmentant ou diminuant de façon proportionnelle à la valeur précédente, on parle de croissance exponentielle.

2 Suites géométriques

1 On considère la suite géométrique u de raison 4 et de terme initial u_{0} D 1.

(a) Exprimer, pour n ∈ ℕ, u_{nC1} en fonction de u_{n}.

(b) Calculer u_{1} puis u_{2}. 2 On considère la suite v définie, pour tout n ∈ ℕ, par v_{n} D 2 × 3^{n}.

La suite v est-elle géométrique? 3 On considère la suite w de terme initial w_{0} D 3 et définie, pour tout

n ∈ ℕ par w_{nC1} D 5w_{n}.

(a) Calculer w_{1} et w_{2}.

(b) Donner la nature de la suite w et préciser la raison.

(c) En déduire, pour tout n ∈ ℕ, une expression de w_{n} en fonction de n.

(d) Calculer w_{4}.

Exercice type

Lycée Genevoix, Montrouge Voir corrigé page ??

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 2 — #4 COURS_{2}

Définition 1 : suite géométrique

Une suite u est géométrique lorsqu’il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n, u_{nC1} D q × u_{n}. q est appelé la raison de la suite.

Exemple : la suite ▷u_{n}◁ définie par u_{0} D 2 et, pour tout entier n ∈ ℕ,

u_{nC1} D 2,5u_{n}

est une suite géométrique de premier terme u_{0} D 2 et de raison 2,5.

Remarque : une suite est donc géométrique si tout terme se déduit du terme précédent en le multipliant par un même nombre réel q.

Théorème 1 : formule explicite

Si ▷u_{n}◁ est une suite géométrique de raison q et de premier terme u_{0} alors, pour tout entier naturel n,

u_{n} D u_{0} × q^{n}.

Exemple : soit ▷u_{n}◁ la suite géométrique de premier terme u_{0} D 5 et de raison r D 2 alors, pour tout entier n, u_{n} D 5 × 2^{n}.

Propriété 1

Comme pour les suites arithmétiques, les suites géométriques peuvent être définies à partir du rang 1, 2, ...

Si u est une suite géométrique de raison q, alors pour tous entiers naturels n et p, on a :

u_{n} D u_{p} × q^{n−p} .

Propriété 2 : représentation graphique et sens de variation

▷u_{n}◁ est une suite géométrique de raison q > 0 et de premier terme positif.

Dans un repère orthogonal, une suite géométrique u se représente par un nuage de points de coordonnées ▷nI u_{n}◁ qui suivent une évolution exponentielle.

Si 0 < q < 1 alors ▷u_{n}◁ est décroissante.

Si q > 1 alors ▷u_{n}◁ est croissante.

Si q D 1 alors ▷u_{n}◁ est constante.

Remarque : les suites géométriques correspondent à des croissances dites « exponentielles ». Elles croissent de plus en plus vite si q > 1, et elles décroissent de plus en plus lentement si 0 < q < 1.

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 3 — #5 CROISSANCE EXPONENTIELLE CHAP. 4_{3} CORRIGÉS INTERROS COURS

Exemples :

1 (a) Pour n ∈ ℕ,

u_{nC1} D 4u_{n}.

(b) u_{1} D 4 × u_{0} D 4 × 1 D 4,

u_{2} D 4 × u_{1} D 4 × 4 D 16.

2 v est une suite géométrique de premier terme v_{0} D 2 et de raison 3.

3 (a) w_{1} D 5w_{0} D 5 × 3 D 15,

w_{2} D 5 × w_{1} D 5 × 15 D 75.

(b) w est une suite géométrique de raison q D 5 et de premier terme w_{0} D 3 puisqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant par 5.

(c) Pour tout n ∈ ℕ,

w_{n} D w_{0} × 5^{n} D 3 × 5^{n}.

(d) w_{4} D 3 × 5^{4} D 1875.

Solution de l’exercice type

Lycée Genevoix, Montrouge Voir énoncé page ??

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 4 — #6 COURS_{4}

3 Fonctions exponentielles

1 Simplifier les expressions suivantes :

(a) A D \frac{1,1^{3} × 1,1^{7,1}}{2,2}  (b) B D \frac{▷2,3^{5}◁^{0,1}}{2,3^{4}}
(c) C D ▷3^{x} C 4◁▷3^{x} − 4◁

2 Soit f la fonction définie sur T0I C∞T par f ▷x◁ D 2^{x}. (a) Indiquer le sens de variations de la fonction f.

(b) Compléter le tableau en arrondissant à 10^{−3} :

x  0  0,5  1  1,5  2

f ▷x◁

Exercice type

Lycée Genevoix, Montrouge

Voir corrigé page ??

Définition 2 : fonction exponentielle de base a

Soit a > 0. La fonction définie sur T0I C∞T par f ▷x◁ D a^{x} est appelée fonction exponentielle de base a

Exemple : la fonction f définie sur T0I C∞T par f ▷x◁ D 1,5^{x} est la fonction exponentielle de base 1,5.

f ▷0◁ D 1,5^{0} D 1 et f ▷1◁ D 1,5^{1} D 1,5.

Pour calculer les valeurs de a^{x}, on utilise la touche�^{�} .

Remarques Lorsque x est un nombre entier, a^{x} correspond à une puissance de a.

Cette fonction est le prolongement à tout réel x de la suite géométrique ▷u_{n}◁ où, pour tout entier naturel n, u_{n} D a^{n}.

Propriété 3 : propriétés algébriques

a et b désignent des nombres réels strictement positifs, x et y des nombres réels positifs.

a^{0} D 1

{a^{x} × a^{y} D a^{xCy} \atop a^{−x} D \frac{1}{a^{x}}}  {▷a^{x}◁^{y} D a^{xy} \atop \frac{a^{x}}{a^{y}} D a^{x−y}}  {▷ab◁^{x} D a^{x} × b^{x} \atop ( \frac{a}{b})^{x} D \frac{a^{x}}{b^{x}}}

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 5 — #7 CROISSANCE EXPONENTIELLE CHAP. 4_{5} CORRIGÉS INTERROS COURS

Exemples

3^{1,3} × 3^{5} D 3^{6,3} ;  \frac{3^{1,5}}{3^{0,8}} D 3^{0,7} ;  ▷3^{3,2}◁^{1,5} D 3^{4,8}.

Propriété 4 : représentation graphique et sens de variation

Soit a un réel strictement positif.

Sur l’intervalle T0I C∞T la fonction exponentielle de base a est : croissante lorsque a > 1. constante lorsque a D 1. décroissante lorsque 0 < a < 1.

Exemple : soient f ▷x◁ D 1,6^{x}, g▷x◁ D 1^{x} et h▷x◁ D 0,3^{x}.

Remarque : les fonctions exponentielles permettent de modéliser des situations continues(variable réelle) à croissance(ou décroissance) exponentielle.

1 (a) \begin{aligned}A & D \frac{1,1^{3} × 1,1^{7,1}}{2,2} \\ & D \frac{1,1^{3C7,1}}{2 × 1,1} \\ & D \frac{1,1^{10,1−1}}{2} \\ & D \frac{1,1^{9,1}}{2} . \end{aligned}  ^{(b) \begin{aligned}B & D \frac{▷2,3^{5}◁^{0,1}}{2,3^{4}} \\ & D ▷2,3◁^{5×0,1} × 2,3^{−4} \\ & D ▷2,3◁^{0,5−4} \\ & D ▷2,3◁^{−3,5} . \end{aligned}}  … Solution de l’exercice type Lycée Genevoix, Montrouge

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 6 — #8 COURS_{6}

(c) C D (3^{x} C 4) (3^{x} − 4)

(on reconnait l’identité remarquable ▷a C b◁▷a − b◁ D a^{2} − b^{2}◁

D ▷3^{x}◁^{2} − 4^{2}

D 3^{2x} − 16.

2 (a) f ▷x◁ est de la forme a^{x} avec a D 2 (a > 1) donc f est strictement croissante sur ℝ_{C}.

(b) \begin{matrix}x & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 \\ f ▷x◁ & 1 & 1,414 & 2 & 2,828 & 4 \end{matrix}

Solution de l’exercice type (suite)

Lycée Genevoix, Montrouge

Voir énoncé page ??

4 Racine n-ième

Définition 3 : racine n-ième

Soit a un réel strictement positif. L’équation x^{n} D a d’inconnue x admet une unique solution réelle positive :

x D a^{\frac{1}{n}}.

a^{\frac{1}{n}} s’appelle la racine n-ième de a, notée aussi \sqrt[n]{a}.

Exemple : la solution réelle positive de l’équation x^{3} D 7 est x D 7^{\frac{1}{3}} D \sqrt[3]{7}.

Remarque : en particulier, la solution réelle positive de l’équation x^{2} D a est :

x D a^{\frac{1}{2}} D a^{0,5} D \sqrt{a}.

5 Taux d’évolution moyen

En France, la proportion de déchets recyclés, exprimée en pourcentage des déchets d’emballages ménagers, est passée de 50% en 2004 à 71% en 2024. 1 Calculer, en pourcentage, le taux d’évolution de la proportion de déchets

recyclés entre 2004 et 2024. 2 Calculer, en pourcentage, le taux d’évolution annuel moyen de la pro-

portion de déchets recyclés entre 2004 et 2024. Arrondir au centième.

Exercice type

Lycée Louis Vincent, Metz Voir corrigé page ??

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 7 — #9 CROISSANCE EXPONENTIELLE CHAP. 4_{7} CORRIGÉS INTERROS COURS

5.1 Évolutions successives

Propriété 5

Une valeur initiale V_{i} subit plusieurs évolutions successives : t_{1}% (de coefficient multiplicateur CM_{1}), suivie de t_{2}%, suivie de...

Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs intermédiaires :

CM_{global} D CM_{1} × CM_{2} × …

Le taux d’évolution global est donc égal à :

t_{global} D CM_{global} − 1.

Exemple : le nombre d’abonnés d’un quotidien augmente de 10 % puis augmente de 20 %. Le taux d’évolution globale est de 32%. En effet, augmenter de 10 % (resp. 20 %) revient à multiplier par 1,1 (resp. 1,2) :

CM_{global} D 1,1 × 1,2 D 1,32.

Le taux d’évolution global est :

t_{global} D CM_{global} − 1 D 1,32 − 1 D 0,32.

Donc le nombre d’abonnés a augmenté de 32%.

5.2 Taux d’évolution moyen

Propriété 6

On suppose qu’au cours de n périodes, le taux d’évolution global d’une quantité est t_{global}. Alors, le taux d’évolution moyen par période est :

t_{moyen} D ▷1 C t_{global}◁^{\frac{1}{n}} − 1.

Remarque :

t_{moyen} D (CM_{global})^{\frac{1}{n}} − 1.

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 8 — #10 COURS_{8}

Exemple : un prix augmente de 69% en deux mois. On cherche le taux d’évolution mensuel moyen.

Le taux d’évolution global est :

t_{global} D 0,69.

Il y a deux périodes considérées. Le taux mensuel moyen est donc :

▷1 C t_{global}◁^{\frac{1}{2}} − 1 D ▷1 C 0,69◁^{\frac{1}{2}} − 1 D 0,3 ,

ce qui correspond à une hausse mensuelle de 30%.

MÉTHODE

Soit une quantité qui passe d’une valeur initiale V_{i} à une valeur finale V_{f} .

Le coefficient multiplicateur global est égal à :

CM_{global} D \frac{V_{f}}{V_{i}} .

Le taux d’évolution global vérifie l’égalité :

1 C t_{global} D CM_{global}.

Le taux d’évolution moyen est le taux qui appliqué n fois, donnerait la même évolution globale. Il vérifie l’égalité :

▷1 C t_{moyen}◁^{n} D CM_{global}.

1 On calcule le coefficient multiplicateur global :

CM_{global} D \frac{0,71}{0,5} D 1,42.

2 Le taux d’évolution annuel moyen t_{moyen} de la proportion de déchets recyclés entre 2004 et 2024 vérifie :

▷1 C t_{moyen}◁^{10} D 1,42⇒ 1 C t_{moyen} D 1,42^{\frac{1}{10}}
⇒ t_{moyen} D 1,42^{\frac{1}{10}} − 1
⇒ t ≈ 0,035 7.

Le taux d’évolution annuel moyen est donc d’environ 3,57%.

Solution de l’exercice type

Lycée Louis Vincent, Metz Voir énoncé page ??

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 9 — #11 CROISSANCE EXPONENTIELLE CHAP. 4_{9} CORRIGÉS INTERROS COURS
1_{V/F} Vérifiez vos connaissances Corrigé p. ?? 10 min

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifiez vos réponses. 1 On considère la suite géométrique de raison 2 et de premier terme

u_{0} D 1. Le terme de rang 3 vaut 8. 2 La suite géométrique ▷v_{n}◁ telle que v_{6} D 50 et v_{7} D 60 a pour raison \frac{5}{6}.

3 L’expression de la fonction exponentielle f de base 4,5 est f ▷x◁ D x^{4,5}. 4 Le carré du nombre a D 2^{1,5} est égal à 8.

2_{QCM} Suites géométriques Corrigé p. ?? 10 min

Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses. 1 Le troisième terme de la suite géométrique de premier terme u_{0} D 2 et

de raison q D 5 est :

a u_{3} D 2 × 5^{3} b u_{2} D 2 × 5^{2} c 50

2 La suite géométrique telle que u_{0} D 5, u_{1} D 30 et u_{2} D 180 a pour raison :

a 25  b 6  c 7

3 Si ▷u_{n}◁ est une suite géométrique de raison 2 telle que u_{2} D 1, alors u_{7} D

a 8  b 16  c 32

4 Si ▷u_{n}◁ est une suite géométrique de raison 6 et de premier terme u_{0} D 5 alors u_{n} D

a 5 C 6n  b 6 × 5^{n}  c 5 × 6^{n}

3_{QCM} Fonction exponentielle Corrigé p. ?? 10 min

Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses. 1 a^{3,2} × a^{2,5} D

a a^{0,7}  b a^{5,7}  c a^{8}

2 \frac{(a^{4,9})◁^{2} × a^{5,2}}{a^{15}} D

a 1  b a^{14,21}  c a^{109,852}

3 f ▷x◁ D 2,3^{x}, (f ▷2◁)◁^{3} D

a 4,6^{3}  b 2,3^{5}  c 2,3^{6}

4 g▷x◁ D 4,1^{x}, g▷3◁ × g▷2,5◁ D

a 4,1^{5,5}  b 5,5^{5,1}  c ≈ 2345,9

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 10 — #12 INTERROS_{10}

Suites géométriques

4Sens de variation_{Lycée Corot, Morestel} Corrigé ; p. ?? ; 10 min ; ⋆

Soit ▷v_{n}◁ la suite géométrique de premier terme v_{0} D 960 et de raison \frac{1}{2}.

1 Calculer v_{1}, v_{2}, v_{3} et v_{4}.

2 Donner, pour tout n ∈ ℕ, une expression de v_{n} en fonction de n.

3 Étudier le sens de variation de ▷v_{n}◁.

5Modéliser_{Lycée Renoir, Cagnes-sur-Mer} Corrigé ; p. ?? ; 15 min ; ⋆ ; ⋆

Un influenceur vérifie régulièrement son nombre d’abonnés sur les réseaux sociaux. Il estime que sur TikTok, son nombre d’abonnés augmente en moyenne de 7% par mois. Il débute l’année 2025 avec 10 000 abonnés. Pour tout n ∈ ℕ, on note a_{n} le nombre estimé d’abonnés de cet influenceur au n-ième mois. 1 Donner a_{0}, puis calculer a_{1} et a_{2}.

2 Exprimer, pour tout n ∈ ℕ, a_{nC1} en fonction de a_{n}.

3 En déduire la nature de la suite a. Préciser sa raison.

4 Donner, pour tout n ∈ ℕ, une expression de a_{n} en fonction de n.

5 Cet influenceur s’est fixé comme objectif d’atteindre les 25 000 abonnés d’ici à la fin de l’année 2025. Devrait-il atteindre son objectif?

6Modéliser_{Lycée Gand, Amiens} Corrigé ; p. ?? ; 20 min ; ⋆ ; ⋆

En 2020, Baptiste a acheté une voiture. Son prix était alors de 10 500 �. La valeur de cette voiture baisse de 14% par an. La valeur de cette voiture peut être modélisée par une suite. On note P_{n} la valeur de la voiture l’année 2020 C n. On a donc P_{0} D 10 500. 1 (a) Déterminer la nature de la suite ▷P_{n}◁.

(b) Quelle était la valeur de cette voiture en 2024? 2 Baptiste aimerait savoir à partir de quelle année la valeur de sa voiture

sera inférieure à 1 500 �. Pour le savoir, il réalise un programme Python.

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 11 — #13 CROISSANCE EXPONENTIELLE CHAP. 4_{11} CORRIGÉS INTERROS COURS

(a) Compléter le programme suivant pour qu’il réponde à la question posée.

     def algo():
         P=10500
         n=2020
         while P........... :
             P=..........
             n=n+1
         return(n)

(b) Quelle valeur renvoie ce programme?

7Comparaison de suites_{Lycée Renoir, Cagnes-sur-Mer} Corrigé ; p. ?? ; 30 min ; ⋆ ; ⋆

Camille a deux propositions pour son salaire lors de son arrivée dans une entreprise le 01/01/2025 :

Proposition 1 : elle commence avec un salaire de 2 000 � mensuel la première année et son salaire mensuel augmente chaque année de 115 �.

Proposition 2 : elle commence avec un salaire de 2 000 � mensuel la première année et son salaire mensuel augmente chaque année de 5%.

1 On note u_{n} son salaire du mois de janvier de l’année 2025 C n avec la proposition 1.

(a) Déterminer u_{0} puis calculer u_{1}.

(b) Quelle est la nature de la suite ▷u_{n}◁?

(c) Exprimer u_{n} en fonction de n.

(d) Déterminer à partir de quelle année son salaire mensuel sera supérieur à 2 800 � avec la proposition 1.

2 On note v_{n} son salaire du mois de janvier de l’année 2025 C n avec la proposition 2.

(a) Déterminer v_{0} puis calculer v_{1}.

(b) Quelle est la nature de la suite ▷v_{n}◁?

(c) Exprimer v_{n} en fonction de n.

(d) Déterminer à partir de quelle année son salaire mensuel sera supérieur à 2 800 � avec la proposition 2.

3 Déterminer la proposition permettant d’avoir un salaire mensuel le plus élevé en 2035.

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 12 — #14 INTERROS_{12}

Fonctions exponentielles

8Sens de variations_{Lycée Vincent d’Indy, Privas} Corrigé ; p. ?? ; 10 min ; ⋆

1 Soit la fonction f définie sur ℝ_{C} par : f ▷x◁ D 0,33^{x}.

(a) Quel est le sens de variation de f ?

(b) Résoudre sur ℝ l’inéquation : 0,33^{x} ⩽ 0,33^{1,8}. 2 Soit la fonction g définie sur ℝ_{C} par : g▷x◁ D 4^{x}.

(a) Quel est le sens de variation de g?

(b) Calculer g▷3,5◁.

(c) Résoudre sur ℝ l’inéquation : 4^{x} ⩾ 128.

Racine n-ième

9Résolution d’équations_{Lycée Jean Puy, Roanne} Corrigé ; p. ?? ; 10 min ; ⋆

Résoudre sur T0I C∞T les équations suivantes :

{1 x^{2} D 0,5184 \atop 2 x^{4} D 0,0081}  {3 x^{4} D 6,859 \atop 4 x^{5} D 7,59375}

Taux d’évolution moyen

10Évolutions successives_{Lycée Ruffié, Limoux} Corrigé ; p. ?? ; 10 min ; ⋆

La population d’une ville augmente de 1% entre 2023 et 2024, puis de 2% entre 2024 et 2025. 1 Déterminer le coefficient multiplicateur associé à chacune de ces évolu-

tions. 2 Déterminer le coefficient multiplicateur global. 3 En déduire le taux d’évolution global entre 2023 et 2025. 4 La ville comptait 20 000 habitants en 2023.

Déterminer le nombre d’habitants en 2025.

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 13 — #15 CROISSANCE EXPONENTIELLE CHAP. 4_{13} CORRIGÉS INTERROS COURS
11Taux d’évolution moyen_{Lycée Montaigne, Bordeaux} Corrigé ; p. ?? ; 10 min ; ⋆ ; ⋆

La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 3 000 � pour l’année 2021. Depuis 2018, l’évolution de la subvention en pourcentage d’une année à l’autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous :

Année  2019 2020 2021 2022 2023
Évolution en pourcentage +17% +15% +10% +9% +6%

Par exemple, le taux d’évolution de la subvention de 2020 à 2021 est de −10%. 1 Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée

(à l’euro près). 2 Le responsable sportif se plaint d’une diminution continuelle des sub-

ventions depuis l’année 2019. Qu’en pensez-vous? 3 Calculer le pourcentage de diminution ou d’augmentation de la subven-

tion de 2018 à 2023. 4 Calculer le taux moyen annuel de 2018 à 2023. 5 Si, à partir de 2023 le taux reste à C6%, quel sera le montant de la

subvention en 2032?

Vers les maths complémentaires

12Pour aller plus loin_{Lycée Boucher,Paris} Corrigé ; p. ?? ; 30 min ; ⋆ ; ⋆ ; ⋆

En 2020, une grande entreprise s’est dotée d’un centre de visioconférences qui permet de réaliser de grandes économies dans le budget « déplacement des cadres ». Lors d’un conseil d’administration de fin d’année, le responsable du centre de visioconférences fait le compte rendu suivant : on a observé un fort accroissement de l’utilisation de cette technologie, le nombre de visioconférences, qui était de 30 en 2020, a augmenté de 20 % tous les ans.

1 On s’intéresse au nombre d’utilisations de la visioconférence lors de l’année 2020 C n. On modélise la situation par une suite géométrique ▷u_{n}◁où le terme u_{n} est une estimation de ce nombre d’utilisations lors de l’année 2020 C n.

(a) Donner la raison q et le premier terme u_{0} de cette suite.

(b) Donner l’expression de u_{n} en fonction de n.

(c) Vérifier qu’en 2025, on a atteint 74 utilisations de la visioconférence.

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 14 — #16 INTERROS_{14}

2 On considère la fonction écrite en langage Python :

 def seuil(A):
     u=30
     n=0
     while u<A:
         u=u+u*0.2
         n=n+1
     return(n)

(a) On entre dans la console seuil(100).

Recopier et compléter avec autant de colonnes que nécessaire le tableau suivant. Les valeurs de U seront données approchées par défaut à l’entier près.

Test U < A  vrai …
Valeur de U 30 36 …
Valeur de n 0  1 …

(b) Quelle est la valeur affichée en sortie de ce programme?

(c) Interpréter cette valeur affichée dans le contexte de ce problème.

3 Le coût de l’installation des appareils de visioconférences sera amorti quand le nombre total d’utilisations aura dépassé 400. À partir de quelle année cette installation sera-t-elle amortie? Justifier la réponse.

Fonction exponentielle — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 15 — #17

CROISSANCE EXPONENTIELLE CHAP. 4_{15} CORRIGÉS INTERROS COURS

1_{V/F} Vérifiez vos connaissances {Énoncé \atop p. ??}

1 Vrai. Le terme de rang 3 de la suite est :

u_{3} D u_{0} × 2^{3} D 1 × 2^{3} D 8.

2 Faux. La raison de la suite est le nombre q tel que v_{7} D q × v_{6} soit :

q D \frac{v_{7}}{v_{6}} D \frac{60}{50} D \frac{6}{5}.

3 Faux. L’expression de la fonction exponentielle f de base 4,5 est :

f ▷x◁ D 4,5^{x}.

4 Vrai. a^{2} D (2^{1,5})^{2} D 2^{1,5×2} D 2^{3} D 8.

2_{QCM} Suites géométriques {Énoncé \atop p. ??}

1 Réponses b et c . Le troisième terme de la suite de premier terme u_{0}

est u_{2}.

u_{2} D u_{0} × q^{2} D 2 × 5^{2} D 50.

2 Réponse b . \frac{u_{1}}{u_{0}} D \frac{u_{2}}{u_{1}} D \frac{30}{5} D 6.

3 Réponse c . u_{7} D u_{2} × q^{7−2} D 1 × 2^{5} D 32. 4 Réponse c . u_{n} D u_{0} × q^{n} D 5 × 6^{n}.

3_{QCM} Fonction exponentielle {Énoncé \atop p. ??}

1 Réponses b . a^{3,2} × a^{2,5} D a^{3,2C2,5} D a^{5,7}. 2 Réponse a . On a :

\frac{(a^{4,9})^{2} × a^{5,2}}{a^{15}} D \frac{a^{4,9×2C5,2}}{a^{15}} D \frac{a^{15}}{a^{15}} D a^{15−15} D a^{0} D 1.

3 Réponse c . ▷f ▷2◁◁^{3} D ▷2,3^{2}◁^{3} D 2,3^{2×3} D 2,3^{6}. 4 Réponse a et c . On a :

g▷3◁ × g▷2,5◁ D 4,1^{3} × 4,1^{2,5} D 4,1^{3C2,5} D 4,1^{5,5} ≈ 2 345,9.

Modéliser — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 16 — #18 CORRIGÉS_{16}
4Sens de variation_{Lycée Corot, Morestel} {Énoncé \atop p. ??}

À RETENIR

Soit ▷u_{n}◁ une suite géométrique de raison q et de premier terme strictement positif.

Si 0 < q < 1 alors ▷u_{n}◁ est strictement décroissante.

Si q D 1 alors ▷u_{n}◁ est constante.

Si q > 1 alors ▷u_{n}◁ est strictement croissante.

1 v_{1} D v_{0} × \frac{1}{2} D 960 × \frac{1}{2} D 480.

v_{2} D 480 × \frac{1}{2} D 240.

v_{3} D 240 × \frac{1}{2} D 120.

v_{4} D 120 × \frac{1}{2} D 60.

2 Pour tout n ∈ ℕ,v_{nC1} D \frac{1}{2} × v_{n}.

3 Puisque v est une suite géométrique, pour tout n ∈ ℕ,

v_{n} D v_{0} × q^{n} D 960 × \frac{1}{2}^{n}.

4 v_{0} est positif et 0 < q < 1 donc ▷v_{n}◁ est strictement décroissante.

5Modéliser_{Lycée Renoir, Cagnes-sur-Mer} {Énoncé \atop p. ??}

À RETENIR

Une suite ▷u_{n}◁ est géométrique de raison q si, pour tout n ∈ ℕ,

u_{nC1} D qu_{n}.

Si ▷u_{n}◁ est géométrique de raison q et de premier terme u_{0} alors, pour tout entier naturel n, u_{n} D u_{0} × q^{n}.

Si ▷u_{n}◁ est géométrique de raison q alors pour tous entiers naturels n et p, on a :

u_{n} D u_{p} × q^{n−p} .

1 L’influenceur débute l’année avec 10 000 abonnés donc a_{0} D 10 000. Chaque mois, son nombre d’abonnés augmente de 7%, c’est-à-dire qu’il est multiplié par 1,07.

Comparaison de suites — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 17 — #19

CROISSANCE EXPONENTIELLE CHAP. 4_{17} CORRIGÉS INTERROS COURS

Donc,

a_{1} D 10 000 × 1,07 D 10 700

et

a_{2} D 10 700 × 1,07 D 11 449.

2 Pour tout n ∈ ℕ, a_{nC1} D 1,07 × a_{n}.

3 a est donc une suite géométrique de raison q D 1,07 et de premier terme

a_{0} D 10 000. 4 Puisque a est une suite géométrique, pour tout n ∈ ℕ,

a_{n} D a_{0} × q^{n} D 10 000 × 1,07^{n}.

5 D’ici la fin de l’année, 12 mois se seront écoulés.

a_{12} D 10 000 × 1,07^{12} ≈ 22 522.

Il n’atteindra donc pas son objectif.

6Modéliser_{Lycée Gand, Amiens} {Énoncé \atop p. ??}

1 (a) Chaque année, la valeur de la voiture baisse de 14 %. Elle est donc multipliée par :

1 − \frac{14}{100} D 0,86.

▷P_{n}◁ est donc une suite géométrique de raison q D 0,86 et de premier terme P_{0} D 10 500.

(b) La valeur de la voiture en 2024 D 2020 C 4 est donnée par P_{4}. Or,

P_{n} D P_{0} × q^{n} D 10 500 × 0,86^{n}

donc

P_{4} D 10 500 × 0,86^{4} ≈ 5 744 � .

2 Le programme complété est le suivant :

    def algo():
        P=10500
        n=2020
        while P>=1500 :
            P=0.86*P
            n=n+1
        return(n)

3 La valeur renvoyée par le programme est 2033.

Comparaison de suites — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 18 — #20

CORRIGÉS_{18}

7Comparaison de suites_{Lycée Renoir, Cagnes-sur-Mer} {Énoncé \atop p. ??}

1 (a) u_{0} est le salaire mensuel pendant l’année 2025 donc :

u_{0} D 2 000 � .

u_{1} est le salaire mensuel pendant l’année 2026 donc :

u_{1} D u_{0} C 115 D 2 115 � .

(b) Chaque année, on ajoute 115 euros au salaire mensuel donc :

u_{nC1} D u_{n} C 115.

▷u_{n}◁ est donc une suite arithmétique de premier terme u_{0} D 2 000 et raison r D 115 (de la forme u_{nC1} D u_{n} C r).

(c) Pour tout n ∈ ℕ,

u_{n} D u_{0} C n × r D 2 000 C 115n.

(d) On cherche n tel que u_{n} > 2 800.

u_{n} > 2 800 ⟺ 2 000 C 115n > 2 800

⟺ 115n > 800

⟺ n > \frac{800}{115}.

n est un entier donc n ⩾ 7. Le salaire mensuel sera supérieur à 2800 euros à partir de l’année 2025 C 7 D 2032.

2 (a) v_{0} est le salaire mensuel pendant l’année 2025 donc :

v_{0} D 2 000 � .

v_{1} est le salaire mensuel pendant l’année 2026 donc :

v_{1} D v_{0} × 1,05 D 2 100 � .

En effet, augmenter de 5% revient à multiplier par 1,05.

(b) v_{nC1} D 1,05v_{n} donc ▷v_{n}◁ est une suite géométrique de raison q D 1,05

et de premier terme v_{0} D 2 000 (de la forme v_{nC1} D qv_{n}).

(c) v_{n} D v_{0} × q^{n} D 2 000 × 1,05^{n}.

(d) On cherche n tel que v_{n} > 2800.

v_{n} > 2 800 ⟺ 2 000 × 1,05^{n} > 2 800

⟺ 1,05^{n} > \frac{2 800}{2 000}

⟺ 1,05^{n} > \frac{7}{5}

⟺ 1,05^{n} > 1,4.

On utilise le menu table de la calculatrice en saisissant la fonction définie par f ▷x◁ D 1,05^{x}.

Résolution d’équations — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 19 — #21

CROISSANCE EXPONENTIELLE CHAP. 4_{19} CORRIGÉS INTERROS COURS

On obtient :

1,05^{6} ≈ 1,34 et 1,05^{7} ≈ 1,407.

Le salaire mensuel sera donc supérieur à 2 800 � à partir de l’année 2025 C 7 D 2032. On peut aussi saisir la suite ▷v_{n}◁ dans le menu « Suites » de la calculatrice, soit avec sa forme explicite v_{n} D 2 000×1,05^{n}, soit avec sa forme de récurrence v_{nC1} D 1,05v_{n} et v_{0} D 2 000.

3 On cherche quelle proposition permettra le salaire mensuel le plus élevé en 2035. 2035 D 2025 C 10. Il faut donc calculer u_{10} et v_{10}. u_{10} D 2 000 C 115 × 10 D 3 150 euros mensuels en 2035 avec la proposition 1. v_{10} D 2 000 × 1,05^{10} ≈ 3 258 euros mensuels environ avec la proposition 2. La proposition 2 est celle qui permet donc d’avoir un salaire mensuel plus élevé.

8Sens de variations_{Lycée Vincent d’Indy, Privas} {Énoncé \atop p. ??}

1 (a) 0 < 0,33 < 1 donc la fonction f est strictement décroissante sur

ℝ_{C}.

(b) Comme la fonction est décroissante sur ℝ_{C} :

0,33^{x} ⩽ 0,33^{1,8} ⟺ x ⩾ 1,8

donc l’ensemble solution à l’inéquation est :

S D T1,8I C∞T.

2 (a) 4 > 1 donc la fonction g est strictement croissante sur ℝ_{C}. (b) g▷3,5◁ D 4^{3,5} D 128.

(c) Comme la fonction est croissante sur ℝ_{C} :

4^{x} ⩾ 128 ⟺ 4^{x} ⩾ 4^{3,5}
⟺ x ⩾ 3,5.

Donc l’ensemble solution à l’inéquation est :

S D T3,5I C∞T.

9Résolution d’équations_{Lycée Jean Puy, Roanne} {Énoncé \atop p. ??}

À RETENIR

Soit a un réel strictement positif et n un entier naturel non nul. L’équation

x^{n} D a, d’inconnue x, a une unique solution positive : x D a^{\frac{1}{n}}

Taux d’évolution moyen — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 20 — #22

CORRIGÉS_{20}

1 x^{2} D 0,5184 ⟺ x D 0,5184^{\frac{1}{2}} D 0,72.

2 x^{4} D 0,0081 ⟺ x D 0,0081^{\frac{1}{4}} D 0,3.

3 x^{4} D 6,859 ⟺ x D 6,859^{\frac{1}{4}} ≈ 1,618.

4 x^{5} D 7,59375 ⟺ x D 7,59375^{\frac{1}{5}} D 1,5.

10Évolutions successives_{Lycée Ruffié, Limoux} {Énoncé \atop p. ??}

1 Augmenter de 1% (respectivement 2%) revient à multiplier par :

1 C \frac{1}{100} D 1,01 (respectivement 1,02).

2 c_{global} D 1,01 × 1,02 D 1,0302.

3

t_{global} D c_{global} − 1

D 1,0302 − 1 D 0,0302

D \frac{3,02}{100}.

L’évolution globale est une hausse de 3,02%.

4 20 000 × 1,0302 D 20 604.

La ville compte 20 604 habitants en 2025.

11Taux d’évolution moyen_{Lycée Montaigne, Bordeaux} {Énoncé \atop p. ??}

1 Puisque nous connaissons le montant de 2021 (3 000 �), nous allons calculer les années suivantes par multiplication et les années précédentes par division. En 2021 la subvention était de 3000 �. Entre 2021 et 2022, elle a augmenté de 9%, donc elle a été multipliée par 1,09 soit une subvention de :

3 000 × 1,09 D 3 270 � . Entre 2022 et 2023, elle a augmenté de 6%, donc elle a été multipliée par 1,06 soit une subvention de :

3 270 × 1,06 ≈ 3 466 � . Entre 2020 et 2021, la subvention a été augmentée de 10%, soit un coefficient multiplicateur de 1,1. La subvention en 2020 est donc de :

\frac{3 000}{1,1} ≈ 2 727 � .

Pour aller plus loin — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 21 — #23

CROISSANCE EXPONENTIELLE CHAP. 4_{21} CORRIGÉS INTERROS COURS

Entre 2019 et 2021, la subvention a été augmentée de 15%, soit un coefficient multiplicateur de 1,15. La subvention en 2019 est donc de :

\frac{2 727}{1,15} ≈ 2 371 � .

Entre 2018 et 2019, la subvention a été augmentée de 17%, soit un coefficient multiplicateur de 1,17. La subvention en 2019 est donc de :

\frac{2 371}{1,17} ≈ 2 026 � .

2 Le responsable confond la diminution du taux de croissance avec une diminution du montant. Le taux passe de C17% à C6%, donc la subvention augmente moins vite. Cependant, tant que le taux reste positif, le montant de la subvention continue de monter chaque année. Le club reçoit donc plus d’argent chaque année, pas moins.

3 Pour trouver l’évolution globale, on multiplie les coefficients multiplicateurs entre eux :

CM_{global} D 1,17 × 1,15 × 1,10 × 1,09 × 1,06 ≈ 1,71.

Le taux d’évolution global est donc :

CM_{global} − 1 ≈ 0,71

soit une hausse d’environ 71% sur la période. 4 De 2018 à 2023 il y a 5 évolutions.

On cherche le taux t tel que ▷1 C t◁^{5} D 1,71.

▷1 C t◁^{5} D 1,71 ⟺ 1 C t D 1,71^{\frac{1}{5}} ≈ 1,1133
⟺ t ≈ 0,1133.

Le taux moyen annuel est d’environ 11,33%. 5 Si le taux reste bloqué à C6% à partir de 2023, il faut calculer l’évolution

sur 9 ans (de 2023 à 2032).

Valeur_{2032} D Valeur_{2023} × 1,06^{9} D 3 466 × 1,06^{9} ≈ 5 856.

La subvention en 2032 serait d’environ 5 856 �.

12Pour aller plus loin_{Lycée Boucher,Paris} {Énoncé \atop p. ??}

1 (a) Augmenter de 20%, c’est multiplier par 1,2 donc la raison de la suite ▷u_{n}◁ est q D 1,2. Le nombre de visioconférences était de 30 en 2020 donc :

u_{0} D 30.

IL1MTC — v. 1.0 19 mars 2026 — Chapitre 4 page 22 — #24 CORRIGÉS_{22}

(b) D’après le cours, on sait que, pour tout n,

u_{n} D u_{0} × q^{n}

donc :

u_{n} D 30 × 1,2^{n}.

(c) 2025 D 2020 C 5 donc :

u_{5} D 30 × 1,2^{5} ≈ 74,65 > 74.

Donc en 2025, on a atteint 74 utilisations de la visioconférence. 2 (a) Le tableau complété est le suivant :

Test U < A  vrai vrai vrai vrai vrai vrai faux
Valeur de U 30 36 43 52 62 74 89 107
Valeur de n 0  1  2  3  4  5  6  7

(b) La valeur affichée en sortie de cet algorithme est la dernière valeur de n, soit 7.

(c) n D 7 correspond à 2020 C 7 D 2027, donc 2027 est l’année à partir de laquelle le nombre annuel de visioconférences dépassera 100.

3 Le coût de l’installation des appareils de visioconférences sera amorti quand le nombre total d’utilisations aura dépassé 400. Le tableau ci-dessous donne le nombre total de vidéo-conférences :

Nombre annuel 30 36 43 52 62 74 89

107

Nombre total 30  66  109 161 223 297 386 493
Valeur ; de n  0  1  2  3  4  5  6  7
Année 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027

L’installation sera donc amortie à partir de l’année 2027.