\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
u_1 & =\dfrac{-u_0-1}{4u_0+3}\\
& =\dfrac{-2-1}{4\times 2+3}\\
u_1& =-\dfrac{3}{11}.
\end{aligned}$

\item
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
v_0&=\dfrac{1}{u_0+0,5}\\
&=\dfrac{1}{2,5}\\
&=0,4.
\end{aligned}$

\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
v_{n+1}-v_n & =\dfrac{1}{u_{n+1}+0,5}-\dfrac{1}{u_{n}+0,5}\\
& =\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-1}{4u_n+3}+0,5}-\dfrac{1}{u_{n}+0,5}\\
& =\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-1+0,5(4u_n+3)}{4u_n+3}}-\dfrac{1}{u_{n}+0,5}\\
&=\dfrac{4u_n+3}{u_n+0,5}-\dfrac{1}{u_{n}+0,5}\\
& =\dfrac{4u_n+2}{u_n+0,5}\\
& =\dfrac{4(u_n+0,5)}{u_n+0,5}\\
&=4.
\end{align*}

\item La suite $(v_n)$ est donc arithmétique de raison 4 et de premier terme $0,4$.

Ainsi, pour tout entier naturel $n$,
\[
v_n=v_0+n\times r=0,4+4n.
\]

\item Pour tout entier naturel $n$, $v_n=\dfrac{1}{u_n+0,5}$.

Ainsi,
\[
\dfrac{1}{v_n}=u_n+0,5
\]
et donc:
\[
u_n=\dfrac{1}{v_n}-0,5=\dfrac{1}{0,4+4n}-0,5.
\]

\item Soit $n \in \N$, on a :
\begin{align*}
u_n<-0,499 & \iff \dfrac{1}{0,4+4n}-0,5 <-0,499\\
& \iff \dfrac{1}{0,4+4n} <0,001\\
& \iff 0,4+4n>\numprint{1000}\\
& \iff n>\dfrac{\numprint{1000}-0,4}{4}.
\end{align*}
Or,
\[
\dfrac{\numprint{1000}-0,4}{4}=249,9.
\]


L'entier cherché est donc $250$.
\end{questions}
\end{questions}
