\begin{questions}
\item
\begin{questions}
\item $u_0$ est le salaire mensuel pendant l'année 2025 donc:
\[
u_0=\numprint{2000}\text{ \euro}.
\]
$u_1$ est le salaire mensuel pendant l'année 2026 donc:
\[
u_1=u_0+115 = \numprint{2115}\text{ \euro}.
\]

\item Chaque année, on ajoute 115 euros au salaire mensuel donc:
\[
u_{n+1} = u_n +115.
\]
$(u_n)$ est donc une suite arithmétique de premier terme $u_0 = \numprint{2000}$ et raison $r = 115$ (de la forme $u_{n+1} = u_n +r$).

\item Pour tout $ n \in \N$,
\[
u_{n}=u_0+n \times r = \numprint{2000}+115n.
\]

\item On cherche $n$ tel que $u_n>\numprint{2800}$.
\begin{align*}
u_n > \numprint{2800} &  \iff \numprint{2000}+115n>\numprint{2800}\\
& \iff  115n > 800\\
& \iff n>\dfrac{800}{115}.
\end{align*}
$n$ est un entier donc $n\geqslant 7$.

Le salaire mensuel sera supérieur à 2800 euros à partir de l'année $2025+7=2032$.
\end{questions}

\item
\begin{questions}
\item $v_0$ est le salaire mensuel pendant l'année 2025 donc:
\[
v_0=\numprint{2000}\text{ \euro}.
\]
$v_1$ est le salaire mensuel pendant l'année 2026 donc:
\[
v_1=v_0 \times 1,05 = \numprint{2100}\text{ \euro}.
\]
En effet, augmenter de 5\% revient à multiplier par 1,05.

\item \mbox{$v_{n+1}=1,05v_n$ donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,05$} et de premier terme $v_0=\numprint{2000}$ (de la forme $v_{n+1}=qv_n$).

\item $v_n=v_0 \times q^n=\numprint{2000} \times 1,05^n$.

\item On cherche $n$ tel que $v_n>2800$.
\begin{align*}
v_n>\numprint{2800} &  \iff \numprint{2000} \times 1,05^n>\numprint{2800}\\
& \iff 1,05^n > \dfrac{\numprint{2800}}{\numprint{2000}}\\
& \iff 1,05^n>\dfrac{7}{5}\\
& \iff 1,05^n>1,4.
\end{align*}
On utilise le menu table de la calculatrice en saisissant la fonction définie par $f(x)=1,05^x$.

On obtient:
\[
1,05^6 \approx 1,34 \text{ et }1,05^7 \approx 1,407.
\]
Le salaire mensuel sera donc supérieur à \numprint{2800} \euro à partir de l'année $2025+7=2032$.

On peut aussi saisir la suite $(v_n)$ dans le menu \og Suites \fg{} de la calculatrice, soit avec sa forme explicite $v_n=\numprint{2000} \times 1,05^n$, soit avec sa forme de récurrence $v_{n+1}=1,05v_n$ et $v_0=\numprint{2000}$.
\end{questions}
\item On cherche quelle proposition permettra le salaire mensuel le plus élevé en 2035.
$2035=2025+10$. Il faut donc calculer $u_{10}$ et $v_{10}$.
\begin{itemize}
\item $u_{10}=\numprint{2000}+115 \times 10 = \numprint{3150}$ euros mensuels en 2035 avec la proposition 1.
\item $v_{10}=\numprint{2000} \times 1,05^{10} \approx \numprint{3258}$ euros mensuels environ avec la proposition 2.
\end{itemize}

La proposition 2 est celle qui permet donc d'avoir un salaire mensuel plus élevé.
\end{questions}

