\chapter{Analyse de l'information chiffrée}
\enlargethispage*{5em}

\vspace*{-1.5em}
\section{Introduction}

Les pourcentages et les graphiques sont omniprésents dans la vie actuelle. Une bonne compréhension de ce qu'ils signifient est nécessaire au citoyen pour pouvoir comprendre l'information, interpréter des graphiques, et garder un esprit critique.

\vspace*{-1.5em}
\section{Proportion et pourcentage}

\begin{exointro}{Lycée Louis Vincent, Metz}
\begin{questions}
\item Dans une entreprise de 450 salariés, il y a 20$\%$ de cadres. 

Combien y-a-t-il de cadres dans cette entreprise? 

\item Une réserve de protection d'oiseaux contient \numprint{2700} oiseaux.

On dénombre 216 grues cendrées. 

Calculer la proportion en pourcentage de grues cendrées dans la réserve.

\item Lors d'un concert, il y a 304 spectateurs de moins de 16 ans, ce qui représente 76$\%$ du public. Combien de spectateurs ont assisté au concert?
\end{questions}
\end{exointro}

Une série statistique se définit à l'aide d'une population et d'un caractère
\begin{defin}[Population-Caractère]
La \textit{population} E est l'ensemble des individus étudiés.

Le \textit{caractère} est la qualité que l'on choisit d'étudier chez ces individus.

Une \textit{sous-population} A est une partie de la population.
\end{defin}

\begin{Exemple}
un campus universitaire compte $\numprint{10000}$ étudiants. On s'intéresse aux $\numprint{2500}$ étudiants inscrits en première année de licence.

L'ensemble des étudiants du campus représente la population. Les étudiants de première année de licence sont une sous-population des étudiants du campus.
\end{Exemple}

\begin{defin}[proportion]
Soit A une sous-population d'une population E. On note $n_E$ et $n_A$ respectivement le nombre d'individus dans la population E et dans la sous-population A.

La \textit{proportion} (ou \textit{fréquence}) de A dans E est le nombre :
\[
p=\dfrac{n_A}{n_E}.
\]
La proportion s'exprime en fraction, en écriture décimale (si elle existe), en pourcentage.
\end{defin}

\begin{Exemple}
la proportion d'étudiants de première année de licence sur ce campus est :
$p=\dfrac{2500}{10000}=0,25$ soit $25 \%$.
\end{Exemple}

\vspace*{-1em}
\begin{aretenir}
Si $n_{total}$ est l'effectif total d'une population et $n_{partiel}$ celui d'une sous-population alors :
\[
\text{proportion} = \dfrac{n_{\text{partiel}}}{n_{\text{total}}}=\dfrac{\text{pourcentage}}{100} 
\]
ou encore, en renversant l'égalité :
\[
\text{pourcentage} = 100 \times \dfrac{n_{\text{partiel}}}{n_{\text{total}}}.
\]
\end{aretenir}

\enlargethispage*{5em}

\vspace*{-0.5em}
\begin{solintro}

\begin{methode}
\begin{itemize}
\item La proportion $p$ d'une sous-population de $n$ individus dans une population de $N$ individus est donnée par $p=\dfrac{n}{N}$
\item Pour calculer une proportion $p$ d'une quantité $N$, on calcule $p \times N$
%\item Pour calculer une proportion $p$ d'une proportion $p'^$, on calcule $p \times p'$
\end{itemize}
\end{methode}

\begin{questions}
\item Le nombre de cadres de l'entreprise est $\dfrac{20}{100} \times 450 = 90$.
\item La proportion de grues cendrées dans la réserve est $p=\dfrac{216}{2700}=0,08$ soit $0,08 \times 100=8 \%$.
\item On note $N$ le nombre de spectateurs ayant assisté au concert. 

On a $\dfrac{76}{100} \times N =304$ soit $N=\dfrac{304}{0,76}=400$.
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{solintro}

\section{Tableau croisé d'effectifs}

\begin{exointro}{Lycée Louis Vincent, Metz}
Une agence de voyage propose à ses 400 clients trois destinations: Madrid, Rome et Lisbonne. Tous les clients choisissent une destination et une seule. La moitié d'entre eux choisit Madrid et 30 \% des personnes partent pour Rome. Une enquête est réalisée à leur retour de voyage. 8 clients partis pour Lisbonne se disent déçus alors que 80 \% des clients ayant fait le voyage pour Rome sont satisfaits. Par ailleurs, l'enquête a montré que 72\% des personnes étaient satisfaites de leur voyage.
\begin{questions}
\item Dresser un tableau croisé d'effectifs présentant les résultats de cette étude.
\item Quel est l'effectif des clients ayant fait le voyage à Rome et étant déçus ?
\item Combien de personnes sont parties à Rome ?
\item Combien de clients de l'agence sont déçus de leur voyage.
\end{questions}
\end{exointro}


\begin{defin}[tableau croisé d'effectifs]
Un \textit{tableau croisé d'effectifs} est un tableau à double entrée.

Il donne les effectifs portant sur deux caractères d'une même population.

Les valeurs de l'un des caractères sont présentées en ligne et celles de l'autre caractère sont présentées en colonne.
\end{defin}

\begin{defin}[marges]
Les sommes des colonnes et des lignes (nommées « Total ») sont aussi appelées les \textit{marges} du tableau.
\end{defin}

\begin{defin}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{TabularColor}}c|c|c|c|}
\hline
\tabulartitle  \diagbox{$C_1$}{$C_2$}& B & B'& Total \\\hline
A & $n_1$ & $n_2$ &$s_1$ \\ \hline
A' & $n_3$ & $n_4$ &$s_2$ \\ \hline
Total & $s_1'$ & $s_2'$& N \\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.58\linewidth}
{\small $n_1$  désigne l'effectif vérifiant à la fois A et B.}

\Par

$s_1$ désigne l'effectif marginal de A.

\Par

$N$ désigne l'effectif total.
\end{minipage}
\end{defin}


\begin{Exemple}
le tableau page suivante donne la répartition des élèves d'un lycée suivant leur classe et leur sexe.

Il y a \numprint{1000} élèves au total dans le lycée. Parmi eux, on compte 170 filles en classe de Seconde. 165 élèves sont des garçons et en classe de Terminale.

\Break

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{TabularColor}}Zc|Zc|Zc|Zc|Zc|}
\hline
\tabulartitle  \diagbox{Sexe}{Classe}& 2\up{nde} & 1\up{ère} & T\up{le} & Total \\\hline
Filles & 170& 165 & 160 &495 \\ \hline
Garçons & 180& 160 & 165 &505 \\ \hline
Total & 350 & 325 & 325 & 1000 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{Exemple}

\begin{solintro}

\begin{methode}
Dans le tableau, on porte d'abord les données de l'énoncé puis on le\linebreak complète.
\end{methode}

\begin{questions}
\item Un tableau croisé d'effectifs est le suivant:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|L|*4{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\tabulartitle  
\diagbox{\small Satisfaction}{\small Destination}
& Madrid & Rome& Lisbonne & Total \\\hline
Satisfaits &  120 (1) & 96 & 72 (2) & 288\\ \hline
Déçus & 80 (3) & 24 (4)& 8 & 112 (5) \\ \hline
Total & 200 & 120 & 80 (6) & 400 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\Par
Explications:
\begin{itemize}
\item (1) $288-96-72=120$
\item (2) $80-8=72$
\item (3) $200-120=80$ 
\item (4) $120-96=24$
\item (5) $400-288=112$
\item (6) $400-200-120=80$
\end{itemize}

\item 24 personnes ont fait le voyage à Rome et sont déçues.
\item 120 personnes sont parties à Rome.
\item 112 clients sont déçues.
\end{questions}
\end{solintro}

\newpage

\section{Diagramme en barres, diagramme circulaire}

\subsection{Diagramme en barres}

\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Un \textit{diagramme en barres} (ou \textit{à bâtons}) est un graphique représentant une série statistique.

À chaque valeur, on associe un segment (ou un rectangle) vertical de largeur constante et réduite, dont la longueur est proportionnelle à l'effectif (ou la fréquence).

\item Un \textit{diagramme en barres empilées} est un diagramme en barres où on représente les rectangles avec différentes couleurs suivant les caractères étudiés.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{Exemples}[diagramme en barres]
\begin{itemize}
\item \textit{Une série statistique à une variable.}

Considérons la population de plusieurs villes de France.
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|*4{Zc|}}
\hline 
Ville & Metz & Nancy & Thionville & Epinal \\\hline
Population & \numprint{121000} & \numprint{105000} & \numprint{43000} & \numprint{33000} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

Les données de ce tableau peuvent être représentées par le diagramme suivant:

\begin{center}
\includegraphics{000_01_crs-1}
\end{center}
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{itemize}
\item \textit{Une série statistique à deux variables.}

Considérons le personnel d'un grand hôtel.

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|c|c|c|}
\hline\tabulartitle
 & Employé de chambre & Employé d'accueil & Direction  \\\hline
Femme & 30 & 15 & 5 \\ \hline
Homme & 20 & 20 & 3 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

On peut représenter cette situation de deux manières différentes, selon la variable principale choisie. Si on choisit le type d'emploi comme variable principale, on obtient le graphique suivant.
\begin{center}
\includegraphics{000_01_crs-2}
\end{center}
\end{itemize}

\begin{Remarque}
on peut utiliser un tableur pour créer le diagramme en barres d'une série statistique.
\begin{methode}
\begin{itemize}
\item Créer le tableau croisé sur une feuille de calcul.
\item Sélectionner ce tableau, choisir le menu \og Insertion \fg{} puis le bouton\linebreak \og Histogramme \fg{} ou le menu \og Diagramme \fg{} selon le logiciel. Choisir alors la forme souhaitée.
\end{itemize}
\end{methode}
\end{Remarque}

\begin{Exemple}[diagramme empilé]
le diagramme page ci-contre est un diagramme empilé qui montre l'ensemble des impôts en France entre les années 2015 et 2024.

Sur ce graphique, la hauteur totale des barres représente la somme totale des impôts perçues par l'État.
\end{Exemple}

Par exemple, en 2023, l'État a perçu près de 800 milliards d'euros d'impôts au total. En 2013, ce montant était d'environ 600 milliards d'euros. La tendance de ces montants est à la hausse, la seule exception étant en 2020 (savez-vous pourquoi ?).

Pour connaître le montant représentée par une catégorie de revenu, il faut calculer la différence entre les limites hautes et basses d'une zone du graphique.

Par exemple, l'impôt sur les sociétés en 2022 est représenté par la zone qui s'étend d'environ 690 à 730. Or,$730 - 690 = 40$, on peut donc estimer que l'impôt sur les sociétés en 2022 s'élevait environ à 40 millions d'euros.

Les détails complets se trouvent à l'adresse : 
\begin{center}
\url{https://www.insee.fr/fr/statistiques/2381408}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics{000_01_crs-5}
\end{center}



\begin{methode}
\begin{itemize}
\item Pour comparer le même caractère sur plusieurs populations, on place des barres côte à côte dans un même diagramme en barres avec la même légende.

\item Pour comparer l'importance de plusieurs caractères dans une population, il est parfois utile de représenter les caractères dans des diagrammes en barres empilées où apparaissent tous les caractères étudiés.
\end{itemize}
\end{methode}


\subsection{Diagramme circulaire}

\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Un \textit{diagramme circulaire} ou \og \textit{camembert} \fg{} est un disque partagé en secteurs angulaires dont la mesure de chaque angle est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence) des différentes valeurs du caractère étudié. La somme totale des mesures des secteurs angulaires est donc égale à $360\degres$.

\item Un diagramme \textit{semi-circulaire} représente les données de la même façon mais sur un demi-disque. La somme totale des mesures des secteurs angulaires est donc égale à $180\degres$. 
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5.5cm}
\begin{Exemple}
le diagramme ci-contre montre la répartition des \numprint{18960} ventes d'un site de téléchargement sur une semaine.

\Par

Un tour complet correspond à $360\degres$. La musique représente $52,6\%$ des ventes . Le secteur qui représente la musique a donc un angle de $\dfrac{52,6}{100} \times 360 \approx 189,4\degres$.
\end{Exemple}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics{000_01_crs-3}
\end{minipage}


\enlargethispage*{5em}

\begin{methode}[construire un diagramme circulaire]
L'effectif total est représenté par l'angle plein, mesurant $360\degres$. On utilise les propriétés de la proportionnalité pour déterminer les mesures des angles des différents secteurs angulaires.

Mais on peut aussi utiliser un tableur pour créer le diagramme circulaire d'une série statistique.

\begin{itemize}
\item Créer le tableau statistique sur une feuille de calcul.
\item Sélectionner ce tableau, choisir le menu \og Insertion \fg{} puis le bouton\linebreak \og Diagramme circulaire \fg{} ou le menu \og Diagramme \fg{} selon le logiciel. Choisir alors la forme souhaitée.
\end{itemize}
\vspace*{-1.5em}
\Break



La comparaison des populations se fait en plaçant des barres côte à côte dans un même
diagramme en barres, ou en plaçant deux diagrammes circulaires côte à côte avec la même légende.
\end{methode}

\section{Nuage de points}

\begin{defin}[nuage de points]
On considère une série statistique composée de deux caractères. Le \textit{nuage de points} associé à cette série est l'ensemble des points ayant pour abscisses les valeurs du premier caractère et pour ordonnées les valeurs du second caractère.
\end{defin}

\begin{Exemple}
le nuage de points ci-dessous représente la pulsation cardiaque en fonction de l'âge.

\begin{center}
\includegraphics{000_01_crs-4}
\end{center}

\end{Exemple}

\begin{Remarque}
la forme du nuage de points donne une indication sur l'existence d'un lien ou non entre les deux caractères étudiés.
\end{Remarque}

\begin{methode}
On peut utiliser un tableur pour créer le nuage de points d'une série statistique.
\begin{itemize}
\item Créer le tableau statistique sur une feuille de calcul.
\item Sélectionner ce tableau, choisir le menu \og Insertion \fg{} puis le bouton \og Nuage de points \fg{} ou le menu \og Diagramme \fg{} selon le logiciel. Choisir alors la forme souhaitée.
\end{itemize}
\end{methode}


\section{Trier des données avec un tableur}

On peut utiliser au choix le tableur du logiciel Numbers, Microsoft Excel,\linebreak LibreOffice ou OpenOffice. 

\subsection{Méthode}

Pour étudier plusieurs caractères dans une population E constituée d'un grand nombre
d'individus, il est indispensable de trier et regrouper les données pour chaque sous-population.
\begin{itemize}
\item On peut utiliser la fonction \og Filtrer \fg{} du menu Données.
\item On peut utiliser les connecteurs logiques ET / OU.
\item On peut construire un tableau croisé dynamique d'effectifs.
\end{itemize}

\subsection{Filtre}
Le tableur permet de filtrer différentes valeurs d'un caractère. Il suffit de sélectionner les colonnes (ou lignes) correspondantes puis, dans le menu \og Données \fg, on choisit :
\begin{itemize}
\item Organiser puis filtrer (avec Numbers)
\item Filtrer (avec Microsoft Excel)
\item Autofiltre (avec LibreOffice)
\item Filtre puis AutoFiltre (avec OpenOffice)
\end{itemize}

\subsection{Fonctions ET / OU / NON}
\begin{itemize}
\item Pour déterminer les effectifs vérifiant à la fois plusieurs caractères, on utilise la formule \textbf{=ET(condition1;condition2;…)}. La fonction ET renvoie VRAI si toutes les conditions sont vraies et FAUX sinon.
\item Pour déterminer les effectifs vérifiant un caractère parmi plusieurs, on utilise la formule \textbf{=OU(condition1;condition2;…)}. La fonction OU renvoie VRAI si au moins l'une des conditions est vraie et FAUX sinon.
\item Pour déterminer les effectifs vérifiant un seul caractère, on utilise la formule \textbf{=NON(condition)}. La fonction NON renvoie FAUX si la condition est vraie et VRAI sinon.
\end{itemize}



