\thumb

\begin{vf}{Interprétation d'un arbre}{15}
\textit{Indiquer pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}

On considère l'arbre pondéré ci-dessous où $A$ et $B$ sont deux événements.
\begin{center}
\includegraphics{000_02_ex-vf1}
\end{center}

\begin{questions}
\item $p_A(B)=0,3$.
\item $P(\overline{A})=0,6$.
\item $P(A\cap B)=0,7$.
\item $p_A(\overline{B})=0,7$.
\item $P(\overline{A}\cap B)=0,4$.
\item $p_{\overline{A}}(\overline{B})=0,6$.
\item On admet que $P(B)=0,36$. 

Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Vrai}. $p_A(B)$ est au $2\ieme$ niveau de l'arbre.

\item \emph{Vrai}. $P(\overline{A})=1-P(A)=1-0,4=0,6$.

\item \emph{Faux}. $P(A\cap B)=P(A) \times p_A(B)=0,4 \times 0,3=0,12$.

\item \emph{Vrai}. $p_A(\overline{B})$ est au $2\ieme$ niveau de l'arbre.

\item \emph{Faux}. $P(\overline{A}\cap B)=P(\overline{A}) \times p_{\overline{A}}(B)=0,6 \times 0,4=0,24$.

\item \emph{Vrai}. $p_{\overline{A}}(\overline{B})$ est au $2\ieme$ niveau de l'arbre.

\item \emph{Faux}.$p_A(B)=0,3 \neq 0,36$.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026 

\begin{vf}{Probabilités conditionnelles}{15}
\enlargethispage*{2em}
Dans une grande entreprise, 30\% des salariés sont cadres et parmi eux, 20\% pratiquent le télétravail. Parmi les salariés non cadres, seulement 10\% pratiquent le télétravail.
On choisit au hasard un salarié et on note $C$ et $T$ les événements respectifs : \og le salarié est cadre \fg et \og le salarié pratique le télétravail \fg.

\textit{Indiquer pour chaque affirmation suivante si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}

\begin{questions}
\item $P(\overline{C})=0,7$.
\item $P( C\cap T)=0,2$.
\item $P_C(\overline{T})=0,8$.
\item $P(\overline{C}\cap T)=0,1$.
\item On admet que 13\% des salariés pratiquent le télétravail.
\begin{questions}
\item Les événements $C$ et $T$ sont indépendants.
\item $P_T(C) \approx 0,462$.
\end{questions}
\end{questions}

\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Vrai}. $P(\overline{C})=1-P(C)=1-0,3=0,7$.

\item \emph{Faux}. $P(C\cap T)=P(C) \times p_C(T)=0,3 \times 0,2=0,06$.

\item \emph{Vrai}. $P_C(\overline{T})=1-P_C(T)=1-0,2=0,8$.

\item \emph{Faux}. $P(\overline{C}\cap T)=P(\overline{C}) \times p_{\overline{C}}(T)=0,7 \times 0,1=0,07$.

\item 
\begin{questions}
\item \emph{Faux}. $p_C(T)=0,2 \neq 0,13$.
\item \emph{Vrai}. $P_T(C)=\dfrac{P(C\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,06}{0,13}\approx 0,462$.
\end{questions}

\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{qcm}{Probabilités conditionnelles}{15}
\textit{Pour chaque question, indiquer la ou les bonnes réponses.}

Si besoin, les probabilités sont données arrondies au millième.

Le tableau ci-dessous donne la répartition des médailles de la France aux Jeux Olympiques de Paris de 2024.
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|Zc|Zc|Zc|}
\hline
\tabulartitle  & Individuel(I) & Par équipe(E)& Total \\\hline
Or(O) & 10& 6 & 16 \\ \hline
Argent(A) & 18& 8& 26\\ \hline
Bronze(B) & 12& 10& 22 \\ \hline
Total & 40 & 24 & 64 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
On choisit une médaille au hasard et on note I, E, O, A, B les événements:
\begin{itemize}
\item I : \og la médaille est une médaille individuelle \fg,
\item E : \og la médaille est une médaille par équipe\fg,
\item O : \og la médaille est en or\fg,
\item A : \og la médaille est en argent\fg,
\item B : \og la médaille est en bronze \fg.
\end{itemize}

\enlargethispage*{5em}
\begin{questions}
\item $P(O)=$\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $0,25$ & \choix $0,157$ &\choix $0,625$
\end{tabularx}

\item $P(\overline{I})=$\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $0,625$ & \choix $0,375$ &\choix $0,094 $
\end{tabularx}

\item $P(I \cap A )=$\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $0,45$ & \choix $0,281$ &\choix $0,692  $
\end{tabularx}

\item La probabilité que la médaille soit en bronze sachant que c'est une médaille individuelle est notée :\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $p_I(B)$ & \choix $P(I\cap B)$ &\choix $p_B(I)  $
\end{tabularx}

\item $p_A(\overline{I})=$\resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $0,45$ & \choix $0,125$ &\choix $0,308$
\end{tabularx}

\item La probabilité que la médaille soit une médaille en or par équipe est notée : \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $P(O \cap \overline{I})$ & \choix $p_O(\overline{I})$ &\choix $p_{\overline{I}}(O)$
\end{tabularx}

\item La probabilité que la médaille choisie ne soit pas une médaille en or est égale à : \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $0,25$ & \choix $P(A)$ &\choix $0,75$
\end{tabularx}

\item La probabilité que la médaille choisie soit une médaille par équipe sachant qu'elle est en bronze est égale à : \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $0,156$ & \choix $p_B(E)$ &\choix $0,455$
\end{tabularx}

\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item  Réponse \choix[a]. $P(0)=\dfrac{16}{64}= \dfrac{1}{4}=0,25$.

\item Réponse \choix[b]. $P(\overline{I})=\dfrac{24}{64}=\dfrac{3}{8}=0,375$.

\item Réponse \choix[b]. $P(I \cap A )=\dfrac{18}{64}=\dfrac{9}{32}\approx 0,281$.

\item Réponse \choix[a].

\item Réponse \choix[c]. $p_A(\overline{I})=\dfrac{8}{26}=\dfrac{4}{13} \approx 0,308$.

\item Réponse \choix[a].
\item Réponse \choix[c]. $P(\overline{O})=1-P(O)=1-0,25=0,75$.

\item Réponse \choix[b] et \choix[c]. $p_B(E)=\dfrac{10}{22} \approx 0,455$.
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}


\sectionnn{Calculer des fréquences à partir d'un tableau}

%% 2026

\begin{exo}{Calculer des fréquences}{Lycée Renoir, Cagnes-sur-Mer}{1}{15} % 1 = nombre d'étoiles ; 5 = temps en minutes

% si une image doit être insérée, précéder le nom de "000_" car elle va être renommée à la fin de la mise en page avec le numéro de page où elle apparaît à l'aide d'un script Python
% Mettre les images dans le dossier "0950XXXXX_IMAGES"
Une association sportive de 360 adhérents propose trois sports : volley, boxe française et vélo. Chaque adhérent est inscrit à un seul sport parmi les trois. L'association compte 160 adhérents adultes, les autres étant juniors. On sait  aussi que 25 \% des adhérents sont inscrits au volley et 40 \% à la boxe française.  De plus, 50 juniors sont inscrits en volley et 60 adultes sont inscrits en vélo. 

\begin{questions}
\item Construire le tableau croisé d'effectifs correspondant en différenciant les caractéristiques Juniors/Adultes d'une part et Volley/Boxe française/Vélo d'autre part.
\item Calculer la fréquence marginale des adhérents adultes. 
\item Calculer la fréquence marginale des adhérents inscrits au vélo. 
\item Calculer la fréquence conditionnelle des adhérents juniors parmi ceux inscrits à la boxe. 
\item Calculer la fréquence conditionnelle des adhérents inscrits au volley parmi les adultes. 
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item Il y a $360-160=200$ adhérents Juniors. 

\item $0,25 \times 360 =90$ adhérents pratiquent le volley et $0,4 \times 360 =144$ pratiquent la boxe française, donc $360-90-144=126$ adhérents pratiquent le vélo. 

\item $90-50=40$ adultes sont inscrits en volley et $126-60=66$ juniors sont inscrits en vélo. 

\item Il y a donc $200-66-50=84$ juniors et $160-40-60=60$ adultes inscrits en Boxe.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tabular}{|C|Zc|Zc|Zc|Zc|}
\hline
\tabulartitle  & Volley & Boxe & Vélo& Total \\\hline
Juniors & 50& 84 & 66& 200 \\ \hline
Adultes & 40& 60& 60& 160 \\ \hline
Total & 90 & 144 & 126& 360 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item La fréquence marginale des adhérents adultes est:
\[
\dfrac{160}{360}=\dfrac{4}{9} \approx 0,44.
\]

\item La fréquence marginale des adhérents inscrits au vélo est:
\[
\dfrac{126}{360}=\dfrac{7}{20} =0,35.
\]

\item La fréquence conditionnelle des adhérents juniors parmi ceux inscrits à la boxe est:
\[
f_B(J)=\dfrac{84}{144}=\dfrac{7}{12} \approx 0,58.
\]

\item La fréquence conditionnelle des adhérents inscrits au volley parmi les adultes est:
\[
f_A(V)=\dfrac{40}{160}=\dfrac{1}{4}=0,25.
\]   
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Calculer des probabilités à partir d'un tableau}
%% 2026

\begin{exo}{Calculer des probabilités}{Lycée La Merci, Montpellier}{1}{15} 
Une entreprise fabrique des chaudières de deux types :
\begin{itemize}
\item des chaudières dites \og à cheminée \fg;
\item des chaudières dites \og à ventouse \fg.
\end{itemize}
L'entreprise a fabriqué en un mois 900 chaudières à cheminée et 600 chaudières à ventouse. Dans ce lot, 1\% des chaudières à cheminée sont défectueuses et 5 \% des chaudières à ventouse sont défectueuses.

On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois. Toutes les chaudières ont la même probabilité d'être prélevées.

On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item $C$ : \og La chaudière est à cheminée \fg ;
\item $V$ : \og La chaudière est à ventouse \fg ;
\item $D$ : \og La chaudière présente un défaut \fg.
\end{itemize}
\begin{questions}
\item Construire le tableau croisé d'effectifs correspondant en différenciant les caractéristiques Cheminée/Ventouse d'une part et Défaut/Sans défaut d'autre part.
\item Déterminer $P(C)$ et $P(V)$.
\item Calculer $P(C \cap D)$ et $P(V \cap D)$.
\item Calculer:
\begin{questions}
\item la probabilité qu'une chaudière à ventouse présente un défaut.
\item la probabilité qu'une chaudière à cheminée présente un défaut.
\end{questions}
\item Calculer $P(D)$ et $P(\overline{D})$.
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item On obtient le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{TabularColor}}Zc|Zc|Zc|Zc|}
\hline
\tabulartitle  & Défaut & Sans défaut & Total \\\hline
Cheminée & 9& 891 & 900 \\ \hline
Ventouse & 30& 570& 600\\ \hline
Total & 39 & 1461 & 1500 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\Par

Nous avons ici tenu compte de la méthode présentée page suivante.
\newpage

\begin{methode}
Dans un tableau on peut calculer directement les probabilités $p_A(B)$.
\[
p_A(B)=\dfrac{\text{nombre d'issues dans } A\cap B}{\text{nombre d'issues dans } A}
\]
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{TabularColor}}Zc|Zc|Zc|Zc|}
\hline
\tabulartitle Nombres d'issues dans  & $A$ & $\overline{A}$ &  Total \\\hline
$B$ & $A \cap B$& $\overline{A} \cap B$ & $B$ \\ \hline
$\overline{B}$ & $ A \cap \overline{B}$& $ \overline{A} \cap \overline{B}$& $\overline{B}$ \\ \hline
Total & $A$ & $\overline{A}$ &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{methode}

\item 
\begin{itemize}
\item $P(C)=\dfrac{900}{\numprint{1500}}=\dfrac{3}{5}=0,6$.
\item $P(V)=\dfrac{600}{\numprint{1500}}=\dfrac{2}{5}=0,4$.
\end{itemize}

\item 
\begin{itemize}
\item $P(C \cap D)=\dfrac{9}{\numprint{1500}}=\dfrac{3}{500}=0,006$.
\item $P(V \cap D)=\dfrac{30}{\numprint{1500}}=\dfrac{1}{50}=0,02$.
\end{itemize}

\item 
\begin{questions}
\item $p_V(D)=\dfrac{30}{600}=\dfrac{1}{20}=0,05$.

(On pouvait aussi utiliser l'information de l'énoncé).

\item $p_C(D)=\dfrac{9}{900}=\dfrac{1}{100}=0,01$ (même remarque).
\end{questions}

\item 
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
P(D) & = P(D \cap V)+ P(D \cap C)\\
     & = 0,02 +0,006\\
     & = 0,026.
\end{aligned}$

\item $P(\overline{D})=1-P(D)=1-0,026=0,974$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{corrige}

%% 2026

\begin{exo}{Calculer des probabilités}{Lycée Louis Vincent, Metz}{2}{15}

Dans une classe de 25 élèves, 15 s'intéressent à la musique, 8 s'intéressent à la danse et 3 s'intéressent à la musique et à la danse.
\begin{questions}
\item Construire le tableau croisé d'effectifs correspondant.
\item On note $M$ et $D$ les événements:
\begin{itemize}
\item $M$ : \og l'élève s'intéresse à la musique \fg,
\item $D$ : \og l'élève s'intéresse à la danse \fg.
\end{itemize}
Que signifient les événements suivants: $\overline{M}$, $M \cap D$, $M \cap \overline{D}$.
\item On choisit un élève au hasard. Calculer $P(\overline{M} \cap \overline{D})$.
\item On choisit un élève au hasard parmi ceux qui s'intéressent à la musique. Quelle est la probabilité que cet élève s'intéresse à la danse ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}

\begin{questions}
\item Le tableau croisé est le suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|C|Zc|Zc|Zc|}
\hline
\tabulartitle & $M$ & $\overline{M}$ & Total \\\hline
$D$  & 3& 5 & 8 \\ \hline
$\overline{D}$ & 12& 5& 17\\ \hline
Total & 15 & 10 & 25 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $\overline{M}$ est l'événement \og l'élève ne s'intéresse pas à la musique \fg ,\\
$M \cap D$ est l'événement \og l'élève s'intéresse à la musique et à la danse \fg,\\
$M \cap \overline{D}$ est l'événement \og l'élève s'intéresse à la musique mais pas à la danse \fg .

\item On choisit un élève au hasard. On est donc en situation d'équiprobabilité. \[
P(\overline{M} \cap \overline{D})=\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}=0,2.
 \]
 
\item Il s'agit d'une probabilité conditionnelle. La probabilité que cet élève s'intéresse à la danse sachant qu'il s'intéresse à la musique est :
\[
p_M(D)=\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}=0,2.
\]
\end{questions}
\end{corrige}



\sectionnn{Calculer des probabilités à l'aide d'un arbre}

% 2026

\begin{exo}{Interpréter un arbre}{Lycée Charlemagne, Thionville}{1}{10} 
On considère une expérience aléatoire et deux événements $A$ et$B$.
\begin{questions}
\item Compléter l'arbre pondéré page suivante.
\begin{center}
\includegraphics{000_02_ex-interpArbre}
\end{center}
\item Calculer les probabilités suivantes sous forme d'une fraction irréductible.
\begin{questions}
\item $P( A \cap B)$
\item $P(\overline{A} \cap B)$
\item $P(A \cap \overline{B})$
\item $P(\overline{A} \cap \overline{B})$
\end{questions}

\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'arbre complété est le suivant:
\begin{center}
\includegraphics{000_02_ex-interpArbre-corr}
\end{center}
\item \begin{questions}
\item $P( A \cap B)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{15}$.

\item $P(\overline{A} \cap B)=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{6}$.

\item $P(A \cap \overline{B})=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{5}$.

\item $P(\overline{A} \cap \overline{B})=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Calculer des probabilités}{Lycée Renoir, Cagnes-sur-Mer}{1}{15} 
Un laboratoire pharmaceutique met au point un test pour dépister une maladie. Une étude sur un échantillon de personnes montre que :
\begin{itemize}
\item Le test est positif dans 4\% des cas.
\item 7\% des personnes ayant un test positif ne sont en fait pas malades (faux positifs).
\item 93,12\% des personnes testées ont un test négatif et ne sont pas malades.
\end{itemize}

On choisit une personne au hasard et on considère les événements:
\begin{itemize}
\item $T$ :\og le test est positif \fg;
\item $M$ : \og la personne est malade \fg .
\end{itemize}

\begin{questions}
\item Traduire les informations de l'énoncé en termes de probabilités.
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Calculer la probabilité que la personne ne soit pas malade sachant que son test est négatif.
\item En déduire la probabilité que la personne soit malade sachant que son test est négatif (faux négatif).
\item Dans quels cas le test commet-il une erreur? 
\item Calculer la probabilité que le test commette une erreur.
\end{questions}

\end{exo}
 

\begin{corrige}

\begin{methode}
\begin{itemize}
\item Pour étudier de telles situations, on les représente à l'aide d'un arbre pondéré.
\item On reporte sur les branches les probabilités connues puis on complète par les probabilités sur les autres branches.
\end{itemize}
\end{methode}

\begin{questions}
\item D'après les informations de l'énoncé:
\[
P(T)=0,04,\ p_T(\overline{M})=0,07\text{ et }P(\overline{T} \cap \overline{M})=0,9312.
\]

\item L'arbre pondérer décrivant la situation est le suivant:
\begin{center}
\includegraphics{000_02_ex-calculProbaTest-corr}
\end{center}

\item $p_{\overline{T}}(\overline{M})=\dfrac{P(\overline{T} \cap \overline{M})}{P(\overline{T})}=\dfrac{0,9312}{0,96}=0,97$.

\item $p_{\overline{T}}(M)=1-p_{\overline{T}}(\overline{M})=1-0,97=0,03$.

\item Le test commet une erreur lorsqu'il est positif et que la personne n'est pas malade ou lorsque le test est négatif et la personne est malade.
\begin{align*}
p & = P(T \cap \overline{M}) + P(\overline{T} \cap M)\\
  & = 0,04 \times 0,07 + 0,96 \times 0,03\\
  & = 0,0316.
\end{align*}
\end{questions}

\end{corrige}


\sectionnn{Étudier l'indépendance de deux événements}

% 2026

\begin{exo}{\'Evénements indépendants}{Lycée St Exupéry, Créteil}{1}{5}
Une urne contient dix boules indiscernables au toucher:
\begin{itemize}
\item cinq boules noires numérotées 1; 1; 3; 4; 4,
\item cinq boules rouges numérotées 1; 2; 3; 4; 5.
\end{itemize}
On prélève au hasard une boule dans cette urne et on note :
\begin{itemize}
\item $N$ l'événement : \og La boule est noire \fg ;
\item $I$ l'événement : \og La boule porte un numéro impair \fg.
\end{itemize}
Les événements $N$ et $I$ sont-ils indépendants ?
\end{exo}

\begin{corrige}
$P(N)=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$ car il y a 5 boules noires parmi les 10 boules.

$p_I(N)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ car il y a 3 boules noires parmi les 6 boules portant un numéro impair. 

Ainsi $P(N)=p_I(N)$; les événements $N$ et $I$ sont donc indépendants.

\end{corrige}


% 2026

\begin{exo}{Indépendance de deux événements}{Lycée Lumière, Luxeuil-les-Bains}{1}{5}
Une étude réalisée sur les étudiants d'une université a permis d'établir que 70\% des étudiants possèdent un ordinateur et que, parmi ceux-ci, 40\% possèdent une automobile. On sait aussi que 55\% des étudiants de l'université ne possèdent pas d'automobile. On choisit au hasard un étudiant de cette université et on note:
\begin{itemize}
\item $O$ l'événement \og l'étudiant possède un ordinateur \fg,
\item $A$ l'événement \og l'étudiant possède une automobile \fg.
\end{itemize}
Les événements $O$ et $A$ sont-ils indépendants?
\end{exo}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{2em}
\begin{methode}
Déterminer si deux événements $O$ et $A$ sont indépendants c'est, par exemple, déterminer si $p_O(A)\neq P(A)$. Il faut donc calculer ces deux probabilités.
\end{methode}
D'après l'énoncé $p_O(A)=0,4$ et $P(\overline{A})=0,55$ donc:
\[
P(A)=1-P(\overline{A})=0,45.
\]
Ainsi $p_O(A)\neq P(A)$ donc les événements $O$ et $A$ ne sont pas indépendants.

\end{corrige}


% 2026

\begin{exo}{Indépendance de deux événements}{Lycée La Source, Meudon}{1}{15}
Le cuisinier d'un centre de vacances a confectionné des beignets pour le\linebreak goûter : 
\begin{itemize}
\item 30 \% des beignets sont à l'ananas, les autres sont aux pommes ;
\item 35 \% des beignets à l'ananas sont aromatisés à la cannelle, ainsi que 45\% des beignets aux pommes.
\end{itemize}
On choisit un beignet au hasard et on définit les événements:
\begin{itemize} 
\item $A$ : \og Le beignet choisi est à l'ananas \fg
\item $C$ : \og Le beignet choisi est aromatisé à la cannelle \fg.
\end{itemize}
\begin{questions}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Les événements $A$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.  
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item L'arbre pondéré décrivant la situation est le suivant:
\begin{center}
\includegraphics{000_02_ex-Indep2evts-corr}
\end{center}
\item $p_A(C)=0,35$ d'après l'énoncé. Or,
\begin{align*}
P(C) & = P(A \cap C)+ P(\overline{A} \cap C )\\
     & = 0,3 \times 0,35 + 0,7 \times 0,45\\
     & = 0,42.
\end{align*}
$p_A(C) \neq P(C)$ donc les événements $A$ et $C$ ne sont pas indépendants.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Indépendance de deux événements}{Lycée La Source, Meudon}{2}{15}
\begin{questions}
\item On considère deux événements indépendants $A$ et $B$ tels que\linebreak $P(A) = 0,75$ et $P(A \cap B) = 0,25$. Calculer $P(B)$.

\item On considère deux événements indépendants $C$ et $D$  tels que\linebreak $P(C \cup D)= \numprint{0,4037}$ et $P(C) = 0,11$. Calculer $P(D)$. 
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $A$ et $B$ sont indépendants donc $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ donc:
\[
P(B)= \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}= \dfrac{0,25}{0,75}=\dfrac{1}{3}.
\]

\item $\begin{aligned}[t]
P(C \cup D ) & = P(C)+P(D)-P(C \cap D)\\
             & = P(C)+P(D)-P(C) \times P(D)
\end{aligned}$

car $C$ et $D$ sont indépendants. 

D'où:
\[
\numprint{0,4037} = 0,11 +P(D)-0,11 \times P(D)
\]
ou encore
\[
\numprint{0,4037}-0,11=0,89 \times P(D).
\]
Ainsi,
\[
P(D)=\dfrac{0,2937}{0,89}=0,33.
\]
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}


\sectionnn{Modéliser une succession d'événements indépendants}

% 2026

\begin{exo}{\fontsize{12}{12}\selectfont Successions d'événements indépendants}{Lycée Doisneau, Corbeil-Essone}{3}{30}

Une joueuse de basket réussit un panier à trois points avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{3}$.
Cette joueuse effectue trois tirs successifs à trois points et on suppose que les tirs sont indépendants les uns des autres.

On note :
\begin{itemize}
\item $R_1$ l'événement : « La joueuse réussit son premier tir » ;
\item $R_2$ l'événement : « La joueuse réussit le deuxième tir » ;
\item $R_3$ l'événement : « La joueuse réussit le troisième tir ».
\end{itemize}
Dans cet exercice, les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.
\begin{questions}
\item Expliquer pourquoi cette expérience est constituée de trois épreuves successives indépendantes. Que peut-on en déduire pour les probabilités des événements $R_1$, $R_2$ et 
$R_3$?
\item Construire un arbre pondéré représentant cette situation.
\item \begin{questions}
\item Calculer la probabilité que la joueuse réussisse ses trois tirs.
\item En déduire la probabilité qu'elle rate au moins un tir.
\end{questions}
\item Calculer la probabilité qu'elle réussisse exactement un tir.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
\begin{itemize}
\item Les épreuves sont \textit{indépendantes}: les probabilités sur les branches restent identiques d'une épreuve à l'autre.

\item La probabilité d'une issue (ici $R_1,\ \overline{R_2},\ \overline{R_3}$) est égale au produit des probabilités rencontrées sur le chemin qui mène à cette issue.
\end{itemize}
\end{methode}
\begin{questions}
\item On suppose que les tirs sont indépendants les uns des autres, donc cette expérience est constituée de trois épreuves successives indépendantes. On en déduit que :  $P(R_1)=P(R_2)=P(R_3)$.

\item  L'arbre pondérer représentant la situation est le suivant:
\begin{center}
\includegraphics{000_02_ex-SuccessEvtIndeps-corr}
\end{center}

\item 
\begin{questions}
\item La probabilité que la joueuse réussisse ses trois tirs correspond à la probabilité du chemin passant par $R_1$, $R_2$ et $R_3$.

Elle est donc égale à :
\[
\left(\dfrac{1}{3} \right)^3 = \dfrac{1}{27}.
\]

\item L'événement  \og La joueuse rate au moins un tir \fg est l'événement contraire de l'événement \og La joueuse réussit ses trois tirs \fg soit:
\[
1-\dfrac{1}{27}=\dfrac{26}{27}.
\]
\end{questions}

\item Il y a trois chemins qui mènent à l'événement \og La joueuse réussit exactement un tir \fg :
\begin{itemize}
\item celui qui passe par $R_1$, $\overline{R_2}$ et $\overline{R_3}$,
\item celui qui passe par $\overline{R_1}$, $R_2$ et $\overline{R_3}$,
\item celui qui passe par $\overline{R_1}$, $\overline{R_2}$ et $R_3$.
\end{itemize}
Sa probabilité est donc égale à:
\[
\left( \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \right) +  \left( \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} \right) + \left( \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{12}{27} = \dfrac{4}{9}.
\]
La probabilité que la joueuse réussisse exactement un tir est égale à $\dfrac{4}{9}$.  
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Vers les maths complémentaires}

% 2026

\begin{exo}{Pour aller plus loin}{Lycée Louis Vincent, Metz}{3}{30}
Un jeu consiste à lancer de la main gauche une balle dans un seau. Parmi l'ensemble des joueurs, $\dfrac{5}{6}$ sont droitiers et $\dfrac{1}{6}$ sont gauchers.
 
Pour un joueur droitier, la probabilité de mettre la balle dans le seau est $\dfrac{1}{4}$.
 
Pour un joueur gaucher, cette probabilité est $\dfrac{1}{2}$.

\begin{questions} 
\item On choisit au hasard un individu dans cette population. On note :
\begin{itemize}
\item G l'événement \og l'individu choisi est gaucher \fg{},
\item S l'événement \og l'individu met la balle dans le seau \fg{}.
\end{itemize}
	\begin{questions} 
	\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
	\item Déterminer la probabilité de l'événement G ~$\cap$~ S.
	\item Calculer la probabilité de l'événement S.
	\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit droitière sachant qu'elle a mis la balle dans le seau. 
	\end{questions}
	
\item Dans cette question, on a sélectionné Pierre, un joueur droitier. Il lance deux balles l'une après l'autre. On suppose les deux lancers indépendants.

	\begin{questions} 
		\item Modéliser la situation par un arbre pondéré.
		\item Déterminer la probabilité que, à l'issue des deux lancers, il y ait exactement une balle dans le seau.
	\end{questions}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{methode}
\begin{itemize}
\item La probabilité de l'intersection $ G\cap S$ se calcule en multipliant les probabilités du chemin associé à $ G\cap S$.
\item La probabilité de $S$ se calcule en additionnant les probabilités de tous les chemins associés à $S$.
\end{itemize}
\end{methode}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\item L'arbre décrivant la situation est le suivant:
\begin{center}
\includegraphics{000_02_ex-AllerPlusLoin-corr}
\end{center}

\item $P(G \cap S)=\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}$.

\Par

\item $\begin{aligned}[t]
P(S) & = P(G \cap S) + P(\overline{G} \cap S)\\
     & = \dfrac{1}{12}+\dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{4}\\
     & = \dfrac{7}{24}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
p_S(\overline{G}) & = \dfrac{P(S \cap \overline{G})}{P(S)}\\
                  & = \dfrac{\frac{5}{6}\times\dfrac{1}{4}}{\frac{7}{24}}\\\\
                  & = \dfrac{\frac{5}{24}}{\frac{7}{24}}  
                  & = \dfrac{5}{7}.
\end{aligned}$
\end{questions}

\item 
\begin{questions}
\item L'arbre décrivant la situation est le suivant:
\begin{center}
\includegraphics{000_02_ex-AllerPlusLoin2-corr}
\end{center}

\Par

\item $\begin{aligned}[t]
p & = P(S;\overline{S}) + P(\overline{S};S)\\
  & = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4} +\dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{4}\\
  & = \dfrac{3}{8}.
\end{aligned}$
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
