\chapter{Croissance linéaire}


\vspace*{-5mm}
\section{Introduction}

Que ce soit en économie ou dans la vie quotidienne, les modèles mathématiques sont omniprésents. On différencie les phénomènes discrets et les phénomènes\linebreak continus.

Lorsque les modèles utilisés génèrent des valeurs augmentant ou diminuant de façon constante, on parle de croissance linéaire.

\section{Fonctions affines}

\begin{exointro}{Lycée Bellevue, Alès}
\begin{questions}
\item Déterminer la fonction affine $f$ de la forme $f(x)=ax+b$ telle que $f(-1)=5$ et $f(2)=1$.
\item Représenter graphiquement la fonction $g$ définie sur $\R$ par:
\[
g(x)=3x-2.
\]
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $h$ définie sur $\R$ par:
\[
h(x)=\dfrac{-5+3x}{4}.
\]
\end{questions}
\end{exointro}

\vspace*{-1em}
\begin{defin}[fonction affine]
\begin{itemize}
\item Une fonction \textit{affine} $f$ est une fonction définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ où $a$ et $b$  sont des réels.
\item Elle est représentée par une droite dont $a$ est le \textit{coefficient directeur} et $b$ l'\textit{ordonnée à l'origine}.
\end{itemize}
\end{defin}
\enlargethispage*{5em}

\vspace*{-1.5em}
\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item Si $a=0$, la fonction $f$ est \textit{constante}.
\item Si $b=0$, la fonction $f$ est \textit{linéaire}
\end{itemize}
\end{Remarques}

\begin{prop}[accroissement d'une fonction affine]
Le \textit{taux d'accroissement} de la fonction $f$ entre les abscisses $x_1$ et $x_2$ est égal à:
\[
a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\quad\text{(avec $x_1 \neq x_2$)}.
\]
\end{prop}
      
\begin{prop}[sens de variation d'une fonction affine]
Le signe du coefficient directeur $a$ donne le sens de variation de la fonction :
\begin{itemize}
\item si $a>0$, la fonction affine est \textit{croissante} sur $\R$,
\item si $a<0$, la fonction affine est \textit{décroissante} sur $\R$.
\end{itemize}
\end{prop}

\enlargethispage*{5em}
\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Le coefficient $a$ correspond au taux d'accroissement de $f$:
\[
a=\dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=\dfrac{1-5}{3}=\dfrac{-4}{3}.
\]
Pour déterminer $b$, on utilise une image avec $f(x)=-\dfrac{4}{3}x+b$.
\[
f(2)=1 \Leftrightarrow -\dfrac{4}{3} \times 2+b=1 \Leftrightarrow -\dfrac{8}{3}+b=1 \Leftrightarrow b=1+\dfrac{8}{3} \Leftrightarrow b=\dfrac{11}{3}.
\]
La fonction affine $f$ a pour expression: $f(x)=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{11}{3}$.

\item La représentation graphique de $g$ est une droite. L'ordonnée à l'origine vaut $-2$ donc la droite passe par le point $(0;-2)$. Le coefficient directeur vaut 3. Donc à partir du point $(0;-2)$, on \og avance \fg d'une unité et on \og monte \fg de 3 unités. La droite passe donc par le point $(1;1)$.
\begin{center}
\includegraphics{000_03_crs-droite}
\end{center} 
\item $h(x)=\dfrac{-5+3x}{4}=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{5}{4}$. Il s'agit d'une fonction affine avec $a=\dfrac{3}{4}$,\\[1ex]
positif donc $h$ est strictement croissante.
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{solintro}



\section{Suite numérique}

\begin{exointro}{Lycée Galois, Sartrouville}
\begin{questions}
\item On considère la suite $u$ définie, pour tout $n \in \N$, par $u_n=0,5n^2+1$.

Calculer les quatre premiers termes et le terme de rang 100.
\item On considère la suite $v$ définie, pour tout $n \in \N^*$, par $v_n=1+\frac{2}{n}$.

Calculer les termes $v_3,\ v_4,\ v_5$ et $v_{100}$ sous forme de fraction irréductible.
\item On considère la suite $u_n$ définie par son terme initial $u_0=-3$ et, pour tout $n \in \N$, par  $u_{n+1}=2u_n-5$. 

Calculer les termes $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.

\item On considère la suite $v_n$ définie par son terme initial $v_0=2$ et, pour tout $n \in \N$, par $v_{n+1}=n+v_n$.

Calculer les termes $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$.
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Notion de suite numérique}

\begin{defin}[suite numérique]
Une \textit{suite numérique} est une fonction dont la variable notée $n$ est un entier naturel.

Le nombre $u(n)$ est appelé le \textit{terme de rang $n$} de la suite $u$.
\end{defin}

\begin{Remarque}
la suite $u$ se note également $(u_n)$ ou $(u(n))$.
\end{Remarque}

\begin{attention}
Ne pas confondre $u_n$ ou $u(n)$ qui est le terme de rang $n$ de la suite et $(u_n)$ ou $(u(n))$ qui est la notation de la suite $u$.
\end{attention}

\begin{Exemple}
la suite:
\[
0;2;4;6;8;10;12;\dots
\]
est la suite des nombres pairs.

On note $(u(n))$ cette suite. Ainsi $u(0)=0,u(1)=2,u(2)=4,\dots$
\end{Exemple}

\begin{prop}
Dans un repère, la \textit{représentation graphique} d'une suite $(u(n))$ est le nuage de points de coordonnées $(n;u(n))$ pour tout entier naturel $n$.
\end{prop}

\subsection{Sens de variation}

\begin{defin}[suite croissante ou décroissante]
Soit $u$ une suite numérique.
\begin{itemize}
\item Dire que la suite $u$ est croissante signifie que, pour tout $n \in \N$, $u_{n+1}\geqslant u_n$.

\item Dire que la suite $u$ est décroissante signifie que, pour tout $n \in \N$,$u_{n+1}\leqslant u_n$.

\item Dire que la suite $u$ est constante signifie que, pour tout $n \in \N$, $u_{n+1}= u_n$.
\end{itemize}
\end{defin}

\subsection{Différentes façons de définir une suite}

\begin{defin}[avec une formule explicite]
On définit le terme général $u_n$ en fonction de son indice $n$.
\end{defin}

\begin{Exemple}
si $(u_n)$ est la suite définie, pour tout entier $n \in \N$, par $u_n=0,5n+1$ alors elle est définie de manière explicite et :
\begin{itemize}
\item $u_0=0,5\times 0 +1 =1$,
\item $u_1=0,5\times 1 +1 =1,5$,
\item $u_2=0,5 \times 2+1=2$,
\item $\vdots$
\end{itemize}
\end{Exemple}

\begin{defin}[avec une relation de récurrence]
Une suite $(u_n)$ est définie par \textit{récurrence} quand elle est définie par la donnée :
\begin{itemize}
\item de son terme initial, généralement $u_0$;
\item d'une relation qui permet de calculer à partir de chaque terme le terme suivant.
\end{itemize}
Cette relation est appelée \textit{relation de récurrence}.
\end{defin}

\begin{Exemple}
si $(v_n)$ est la suite définie par $v_0=-1$ et, pour tout entier $n \in \N$ : $v_{n+1}=0,5v_n+1$
alors elle est définie par récurrence et :
\begin{itemize}
\item $v_1=0,5\times v_0 +1 =0,5$,
\item $v_2=0,5\times v_1 +1 =1,25$,
\item $v_3=0,5 \times v_2+1=1,625$,
\item $\vdots$
\end{itemize}
\end{Exemple}

\newpage

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item Cette suite est définie de manière explicite.
\begin{itemize}
\item $u_0=0,5 \times 0^2+1=1;u_1=0,5 \times 1^2 +1 =1,5$;
\item $u_2=0,5\times 2^2 +1 =3$;
\item $u_{100}=0,5\times 100^2+1 = \numprint{5001}$.
\end{itemize}

\item Cette suite est définie de manière explicite.
\begin{itemize}
\item $v_3=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$;
\item $v_4=1+\frac{2}{4}=\frac{3}{2}$;
\item $v_5=1+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}$;
\item $v_{100}=1+\frac{2}{100}=\frac{51}{50}$.
\end{itemize}

\item Cette suite est définie par une relation de récurrence.
\begin{itemize}
\item $u_1=2 \times u_0-5=2\times (-3)-5 =-11$;
\item $u_2=2 \times u_1-5=2\times (-11)-5 =-27$;
\item $u_3=2 \times u_2-5=2\times (-27)-5 =-59$;
\item $u_4=2 \times u_3-5=2\times (-59)-5 =-123$.
\end{itemize}

\item Cette suite est définie par une relation de récurrence.
\begin{itemize}
\item $v_1=0+v_0=2$;
\item $v_2=1+v_1=1+2=3$;
\item $v_3=2+v_2=2+3=5$;
\item $v_4=3+v_3=3+5=8$.
\end{itemize}
\end{questions}
\end{solintro}

\section{Suites arithmétiques}

\enlargethispage*{5em}
\begin{exointro}{Lycée Galois, Sartrouville}
\begin{questions}
\item On considère la suite arithmétique $u$ de raison $-2$ et de terme initial $u_0=10$.
\begin{questions}
\item Exprimer, pour $n \in \N$, $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Calculer $u_1$ puis $u_2$.
\end{questions}

\item On considère la suite $v$ définie, pour tout $n \in \N$, par $v_n=3n+4$.

Calculer les termes $v_0$, $v_1$ et $v_{10}$.

\vspace*{-1.5em}
\Break

\item On considère la suite $w$ de terme initial $w_0=9$ et définie, pour tout $n \in \N$, par $w_{n+1}=w_n+5$. 
\begin{questions}
\item Calculer $w_1$ et $w_2$.
\item Donner la nature de la suite $w$ et préciser la raison.
\item \mbox{En déduire, pour tout $n \in \N$, une expression de $w_n$ en fonction de $n$.}
\item Calculer $w_{10}$.
\end{questions}
\end{questions}
\vspace*{-1.5em}
\end{exointro}

\begin{defin}[suite arithmétique]
Une suite $u$ est \textit{arithmétique} lorsqu'il existe un réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$.

$r$ est appelé la \textit{raison} de la suite.
\end{defin}

\begin{Exemple}
la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n \in \N$ par:
\[
\left\{
\begin{array}{r@{\,}l}
u_0&=0\\
u_{n+1}&=u_n+1
\end{array}
\right.
\]
est une suite arithmétique de premier terme $u_0=0$ et de raison $1$.
\end{Exemple}

\begin{Remarque}
une suite est donc arithmétique si tout terme se déduit du terme précédent en ajoutant un même nombre réel $r$, ou si la différence entre deux termes successifs est constante.
\end{Remarque}

\begin{thm}[formule explicite]
Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$ alors, pour tout entier naturel $n$, 
\[
u_n=u_0+n \times r.
\]
\end{thm}

\begin{Exemple}
soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=1$ et de raison $r=2$. Alors, pour tout entier $n$, 
\[
u_n=1+n \times 2 = 2n+1.
\]
\end{Exemple}

\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{prop}[représentation graphique et sens de variation]
$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$.
\begin{itemize}
\item Dans un repère orthogonal, les points de coordonnées $(n;u_n)$ sont \textit{alignés}.
\item Si $r>0$ alors $(u_n)$ est strictement croissante.
\item Si $r<0$ alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
\item Si $r=0$ alors $(u_n)$ est constante.
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{Remarque}
une suite arithmétique permet de modéliser un phénomène \textit{discret à croissance linéaire}.
\end{Remarque}

\newpage

\begin{solintro}
\begin{questions}
\item \begin{questions}
\item $u$ est une suite arithmétique de raison $-2$ et de terme initial\linebreak $u_0=10$ donc, pour $n \in \N$,
\[
u_{n+1}=u_n-2.
\]

\item 
\begin{itemize}
\item $u_1=u_0-2=10-2=8$;
\item $u_2=u_1-2=8-2=6$.
\end{itemize}
\end{questions} 

\item $v$ est une suite arithmétique définie de manière explicite.
\begin{itemize}
\item $v_0=3 \times 0 +4 =4$;
\item $v_1=3 \times 1 +4 =7$;
\item $v_{10}=3 \times 10 +4 =34$.
\end{itemize}

\Par

\item 
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item $w_1 = w_0+5=9+5=14$;
\item $w_2=w_1+5=14+5=19$.
\end{itemize}

\Par

\item La relation de récurrence \og $w_{n+1}=w_n+5$ \fg{} nous indique que chaque terme se déduit du précédent en ajoutant 5. 

Ainsi $w$ est une suite arithmétique de raison $5$.

\Par

\item Pour tout $n \in \N$, 
\[
w_n=w_0+ n\times r =9+5n.
\]

\Par

\item $w_{10}=9+5 \times 10 =59$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{solintro}