\thumb

\begin{vf}{Suite arithmétique}{10}
On considère la suite $u$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, par :
\[
u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{4}.
\]
Les affirmations suivantes sont-elles \textit{vraies} ou \textit{fausses}? Justifiez vos réponses.
\begin{questions}
\item $u_2=0,5$.
\item La suite $u$ est arithmétique.
\item Le cinquième terme de la suite est $u_5=1,25$.
\item La forme explicite de $u$ est $u_n=\dfrac{n}{4} $.
\item La fonction affine associée à cette suite est linéaire.
\item Si $n\geq 100$ alors $u_n>25$.
\item Le cinquième terme de la suite arithmétique $v$ de raison $2$ et de premier terme $-\dfrac{1}{2}$ est $9,5$.
\item On considère la suite arithmétique $w$ de raison $-2$ et de premier terme $4$.
Le coefficient directeur de la droite qui contient tous les points de coordonnées $(n;w_n)$ est $4$.
\item Les termes d'une suite arithmétique ne peuvent pas être tous égaux.
\end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \emph{Vrai}. On a:
\begin{itemize}
\item $u_1=u_0+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$,
\item $u_2=u_1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}

\item \emph{Vrai}. La suite $u$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{4}$ car:
\[
u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{1}{4}.
\]

\item \emph{Faux}. Le cinquième terme de la suite est $u_4=1$.

\item \emph{Vrai}. La forme explicite de la suite est:
\[
u_n=u_0+n\times r=0+n\times \dfrac{1}{4}=\dfrac{n}{4}.
\]

\item \emph{Vrai}. La fonction affine associée à la suite est définie par:
\[
f(n)=\dfrac{n}{4}=\dfrac{1}{4}n,\text{ qui est une fonction linéaire.}
\]

\item \emph{Faux}. $r=\dfrac{1}{4} >0$ donc la suite est croissante. $u_{100}=25$ donc si $n\geq100$ alors $u_n \geq 25$ (inégalité \textit{large} et non \textit{stricte}).

\item \emph{Faux}. Le cinquième terme de la suite arithmétique $v$ de raison $2$ et de premier terme $v_0=-\dfrac{1}{2}$ est:
\[
v_4=v_0+4 \times 2 =-\dfrac{1}{2}+8=7,5.
\]

\item \emph{Faux}. La droite qui contient tous les points de coordonnées $(n;w_n)$ a pour équation $y=-2x+4$. Elle a donc pour coefficient directeur $-2$.

\item \emph{Faux}. Si la raison de la suite vaut $0$, tous les termes de la suite seront égaux.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{qcm}{Suite arithmétique}{5}
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses.

Soit la suite arithmétique $u$ définie, pour tout entier $n\in \N$ par :
\[
\left\{
\begin{array}{r@{\,}l}
u_0 & = 5 \\
u_{n+1} & = u_n-4.
\end{array}
\right.
\]

\begin{questions}
\item Le terme $u_2$ vaut: \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $-7$ & \choix $-3$ &\choix $13$
\end{tabularx}

\item La raison de la suite est: \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $5$ & \choix $4$ &\choix $-4$
\end{tabularx}

\item La suite est: \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix croissante & \choix décroissante & \choix constante
\end{tabularx}

\item Pour tout $n \in \N$, $u_n=$ \resetchoix\Par
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}XXX@{}}
\choix $n-4$ & \choix $-4n+5$ &\choix $5n-4$
\end{tabularx}
\end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{questions}
\item  Réponses \choix[b]. On a:
\begin{itemize}
\item $u_1=u_0-4=5-4=1$;
\item $u_2=u_1-4=1-4=-3$.
\end{itemize}

\item Réponse \choix[c]. $u_{n+1}=u_n-4$ est l'expression par récurrence d'une suite arithmétique de raison $r=-4$.

\item Réponse \choix[b]. La raison de la suite est négative donc la suite est décroissante.

\item Réponse \choix[b]. L'expression du terme général de la suite arithmétique de premier terme $u_0=5$ et de raison $r=-4$ est $u_n=u_0+n \times r=5-4n$.
\end{questions}
\end{corrige}



\sectionnn{Fonction affine}

%%%

% 2026

\begin{exo}{Fonction affine}{Lycée Alain, Le Vésinet}{1}{15} 

\begin{questions}
\item Déterminer l'expression $f(x)$ de la fonction affine $f$ telle que:
\[
f(-1)=-3\qquad\text{et}\qquad f(2)=3.
\]
\item Dans le repère ci-dessous, les fonctions $g$ et $h$ sont représentées. 
\begin{center}
\includegraphics{000_03_ex-FctAff}
\end{center}
Donner l'expression de chacune de ces fonctions affines.

\item 
\begin{questions}
\item Représenter la fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x)=-\dfrac{1}{2}x+1$ dans le repère ci-dessus.
\item Quel est le sens de variations de la fonction $k$ sur $\R$.
\end{questions}

\end{questions}
\end{exo}


\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $f(x)$ est de la forme $f(x)=ax+b$.
\begin{itemize}
\item Calcul de $a$:
\begin{align*}
a & = \dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}\\
a & =\dfrac{3+3}{3}\\
a & =2.
\end{align*}
$f(x)=2x+b$.

\item Calcul de $b$:
\begin{align*}
f(2)=3 & \iff 2\times 2 +b=3\\
& \iff 4+b=3 \\
&\iff b=-1.
\end{align*}
\end{itemize}
Ainsi, pour tout réel $x$, $f(x)=2x-1$.

\item 
\begin{itemize}
\item La courbe de $g$ passe par le point $(0;2)$ donc l'ordonnée à l'origine est:
\[
b=2.
\]
Elle passe également par le point $(-2;0)$ donc :
\begin{align*}
a & = \dfrac{2-0}{0-(-2)}\\
a  & =\dfrac{2}{2}\\
a  & =1.
\end{align*}
Ainsi $g(x)=x+2$.

\item De manière identique, la courbe de $h$ passe par $(0;-3)$ donc:
\[
b=-3.
\]
Elle passe également par le point $(-1;-1)$ donc:
\begin{align*}
a & = \dfrac{-3-(-1)}{0-(-1)}\\
a & = \dfrac{-2}{1}\\
a & = -2.
\end{align*}
Ainsi $h(x)=-2x-3$.
\end{itemize}

\item \enlargethispage*{\baselineskip}
\begin{questions}
\item Pour tracer la droite représentant la fonction $k$, il faut tracer deux points. On donne deux valeurs à $x$ et on calcule les valeurs de $k(x)$ correspondantes.
\begin{itemize}
\item Si $x=0$ alors $k(0)=1$. On place le point $(0;1)$.
\item Si $x=2$ alors $k(2)=0$. On place le point $(2;0)$.
\end{itemize}
Ensuite, on trace la droite passant par ces deux points.

\begin{center}
\includegraphics{000_03_ex-FctAff-corr}
\end{center}

\item Pour la fonction affine $k$, le coefficient directeur $a=-\dfrac{1}{2}$ est négatif donc la fonction $k$ est décroissante.
\end{questions}
\end{questions}

\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Croissance linéaire}{Lycée Brel, La Courneuve}{2}{15} 
\enlargethispage*{3em}
La pression de l'eau sur un plongeur se calcule à l'aide de la formule $P=\dfrac{F}{S}$, où $P$ est la pression, en pascal (Pa), $F$ est la force de pression exercée, en newton (N), et $S$, la surface corporelle, en $m^2$.
\begin{questions}
\item La pression de l'eau définit-elle une croissance linéaire en fonction de $F$ ou de $S$? Justifier.
\item La surface corporelle moyenne d'un humain adulte est de $1,73~m^2$.
 \begin{questions}
\item Calculer la pression de l'eau sur un plongeur lorsque la force vaut $2,595$ N.
\item Calculer la force de pression exercée sur un plongeur lorsque la pression est de 1 bar, soit $10^5$ Pa.
\end{questions}
 \end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La pression de l'eau définit une croissance linéaire en fonction de $F$ puisque $P$ peut s'écrire sous la forme $P=\dfrac{1}{S} \times F$.
\item \begin{questions}
\item On remplace $S$ par $1,73$ et $F$ par $2,595$ et on obtient:
\[
P=\dfrac{2,595}{1,73}=1,5.
\]
Ainsi, la pression de l'eau est de $1,5$ Pa.

\item Lorsque $P=10^5$, on a:
\[
10^5=\dfrac{F}{1,73}\iff F=10^5 \times 1,73 =\np{173 000}.
\]
La force exercée est donc de $\np{173 000}$ N.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Fonction affine}{Lycée Aubrac, Pantin}{2}{20} % 1 = nombre d'étoiles ; 5 = temps en minutes

La température $f(x)$ en degré Fahrenheit (°F) en fonction de la température $x$ en °C vérifie une croissance linéaire telle que $f(37)=98,6$ et $f(100)=212$.
\begin{questions}
\item Déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la représentation graphique de $f$, puis en déduire l'expression de $f$.
\item Convertir $107,6$ °F en °C.
\item Déterminer l'expression de la température en °C en fonction de celle\linebreak en °F. Obtient-on une fonction affine? Justifier.

 \end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}

\begin{questions}
\item $f$ est une fonction affine de la forme $f(x)=ax+b$. Elle est représentée par une droite d'équation $y=ax+b$ où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine.

\begin{itemize}
\item Calcul de $a$ :
\[
a=\dfrac{f(100)-f(37)}{100-37}=\dfrac{212-98,6}{63}=\dfrac{113,4}{63}=1,8.
\]
Ainsi $f(x)=1,8x+b$.

\item Calcul de $b$ :
\begin{align*}
f(100)=212 & \iff 1,8 \times 100 +b=212\\
& \iff b=212-180=32.
\end{align*}
Donc $f(x)=1,8x+32$.
\end{itemize}
Le coefficient directeur est donc $1,8$ et l'ordonnée à l'origine $32$.

\item On cherche $x$ tel que $f(x)=107,6$.
\begin{align*}
f(x)=107,6 & \iff 1,8x+32=107,6\\
& \iff 1,8x=107,6-32\\
& \iff 1,8x=75,6\\
& \iff x=\dfrac{75,6}{1,8}=42.
\end{align*}
Donc $107,6$°F correspond à $42$°C.

\item  Notons $y$ la température en °F. Nous voulons isoler $x$ (la température\linebreak en °C) dans l'équation.
\begin{align*}
y=1,8x+32 & \iff y-32=1,8x\\
& \iff x= \dfrac{y-32}{1,8}=\dfrac{1}{1,8}y-\dfrac{32}{1,8}\\
& \iff x= \dfrac{5}{9}y-\dfrac{160}{9}.
\end{align*}
On obtient donc $g(y)=\dfrac{5}{9}y-\dfrac{160}{9}$, qui est l'expression d'une fonction affine.
\end{questions}
\end{corrige}
\sectionnn{Suites numériques}

% 2026

\begin{exo}{Suite et Python}{Lycée St Exupéry, Toulouse}{1}{5}
Voici une fonction $u$ en langage Python.
\begin{listing}{}{suite2.py}
\end{listing}
 
\begin{questions}
\item Définir la suite explicite $(u_n)$ dont cette fonction permet de calculer les termes.
\item Que vaut $u_{10}$ ?
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La forme explicite de cette suite est: $u_n=2n^2-3n+5$.
\item $u_{10}=2 \times 10^2-3\times 10 +5 =175$.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Suite et tableur}{Lycée Brel,La Courneuve}{1}{5}

On souhaite calculer les termes d'une suite à l'aide d'un tableur.
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{LGray}\ttfamily}c|c|c|c|c|c|}
\hline\rowcolor{LGray}
& \texttt{A} & \texttt{B} & \texttt{C} & \texttt{D} & \texttt{E} \\ \hline
1 & $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
2 & $u_n$ & -2 & \ttfamily =3*C1\verb+^+2+5*C1-2 & & \\ \hline
3 & & & & & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{questions}
\item Si on étend la formule de la case \texttt{C2} à la case \texttt{D2}, quelle est la valeur de $u_2$ ?
\item Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de $n$ en utilisant la formule donnée par le tableur.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $u_2=3\times 2^2+5\times 2-2 =20$.
\item $u_n=3n^2+5n-2$
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Suites arithmétiques}

% 2026

\begin{exo}{Suite arithmétique}{Lycée Alain, Le Vésinet}{1}{15} 
On considère la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0=48$ et de raison $-5$.
\begin{questions}
\item Donner la relation de récurrence vérifiée par $(u_n)$, puis la formule\linebreak explicite de $(u_n)$.
\item Calculer $u_5$.
\item Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
\end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item La suite $(u_n)$ est définie par la relation de récurrence :
\[
\left\{
\begin{array}{r@{\,}l}
u_0 & = 48 \\
u_{n+1} & = u_n-5, \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}.
\end{array}
\right.
\]
La formule explicite de la suite est : 
\[
u_n=u_0+n \times r =48 -5n.
\]

\item $u_5=48-5\times5=23$.
\item $r=-5$ est négatif donc la suite est strictement décroissante.
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Suite arithmétique et Python}{Lycée Déodat, Toulouse}{2}{20}
On considère la suite arithmétique $(u_n)$ dont le terme de rang $n$ s'obtient grâce à l'algorithme ci-dessous: 

\begin{listing}{}{suite3.py}
\end{listing}

\begin{questions}
\item \begin{questions}
\item Préciser le premier terme $u_0$ ainsi que la raison.
\item En déduire la formule explicite de $u_n$.
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \geq \numprint{1000}$.
\item Modifier la fonction Python précédente pour qu'elle réponde à la question précédente.
\end{questions}
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \begin{questions}
\item C'est une suite arithmétique de premier terme $u_0=10$ et de raison $r=4$.
\item La formule explicite est donc:
\[
u_n=u_0+ n\times r=10 +4n.
\]
\end{questions}
\item \begin{questions}
\item On cherche $n$ tel que:
\begin{align*}
u_n\geq 1000 & \iff 10+4n \geq \numprint{1000}\\
& \iff 4n \geq 990\\
& \iff n\geq \dfrac{990}{4}\\
& \iff n \geq 247,5.
\end{align*}
Le plus petit entier est donc $248$.

\item La fonction modifiée est la suivante:

\begin{listing}{}{suite4.py}
\end{listing}
\end{questions}
\end{questions}
\newpage
\end{corrige}


% 2026

\begin{exo}{Modéliser}{Lycée Montaigne, Bordeaux}{2}{20}
\enlargethispage*{2em}
Une famille décide d'épargner afin de pouvoir s'offrir un voyage.
La première année, elle économise 500 euros. Chaque année, elle augmente la somme épargnée de 100 euros. Pour $n\geq1$, on note $s_n$ la somme épargnée l'année $n$.
\begin{questions}
\item Déterminer $s_1$, $s_2$, $s_3$ et $s_4$.
\item Exprimer $s_{n+1}$ en fonction de $s_n$.
\item En déduire la nature de la suite $(s_n)$ puis son terme général.
\item Déterminer dans combien d'années la famille pourra partir en voyage sachant que le voyage coûte $\numprint{4200}$ euros.
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{aretenir}
\begin{itemize}
\item Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si, pour tout $n\in \N$, \[ u_{n+1}=u_n+r. \]
\item Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$ alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0+nr$.
\item Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ alors pour tous entiers naturels $n$ et $p$, on a : $u_n=u_p+ (n-p)\times r$.
\end{itemize}
\end{aretenir}

\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item $s_1=500$,
\item $s_2=500+100=600$,
\item $s_3=600+100=700$,
\item $s_4=700+100=800$.
\end{itemize}

\item $s_{n+1}=s_n+100$.

\item $(s_n)$ est une suite arithmétique de raison $100$ et de premier terme \mbox{$s_1=500$}. La suite commence donc au terme $s_1$. Ainsi,
\begin{align*}
s_n & = s_1+(n-1)\times r=500+(n-1)\times 100 \\
& = 500+100n-100\\
& =400+100n.
\end{align*}

\item On cherche $n$ tel que $s_n\geq \numprint{4200}$.
\begin{align*}
s_n\geq \numprint{4200} & \iff  400 +100n \geq \numprint{4200}\\
& \iff 100n\geq \numprint{3800}\\
& \iff n\geq 38.
\end{align*} 
Ainsi, la famille pourra partir en voyage au bout de 38 années. %(soit 3 ans et 2 mois)
\end{questions}
\end{corrige}

% 2026

\begin{exo}{Modéliser}{Lycée Michelet, Vanves}{2}{20}
En 2025, le nombre d'abonnés à une page de réseau social d'un influenceur était de $\numprint{9 000}$. On suppose que, chaque année, il obtient $\numprint{1 500}$ followers supplémentaires. $f_n$ désigne le nombre d'abonnés en $2025 + n$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{questions}
\item Calculer le nombre d'abonnés en $2026$ et $2027$.
\item Exprimer $f_{n+1}$ en fonction de $f_n$.
\item Quelle est la nature de la suite? En déduire une expression de $f_n$ en fonction de $n$.
\item Existe-t-il une année pour laquelle le nombre d'abonnés aura triplé par rapport à 2025? Si oui, laquelle?
\end{questions}
 

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item Le nombre d'abonnés en $2026$ correspond à:
\[
f_1=\numprint{9000}+\numprint{1500}=\numprint{10500};
\]
\item le nombre d'abonnés en $2027$ est:
\[
f_2=\numprint{10500}+\numprint{1500}=\numprint{12000}.
\]
\end{itemize}

\item $f_{n+1}=f_n+1500$.

\item $(f_n)$ est donc une suite arithmétique de raison \numprint{1500} et de premier terme $f_0=\numprint{9000}$ (qui correspond au nombre d'abonnés en $2025$. 
\[
f_n=f_0+n\times r =\numprint{9000}+\numprint{1500}n.
\]

\item On cherche s'il existe une valeur $n$ telle que $f_n=3\times \numprint{9000}=\numprint{27000}$.
\begin{align*}
\numprint{9000}+\numprint{1500}n=\numprint{27000} & \iff \numprint{1500}n=\numprint{18000}\\
& \iff n=\dfrac{\numprint{18000}}{\numprint{1500}}=12.
\end{align*}
Ainsi, le nombre d'abonnés devrait avoir triplé au bout de 12 années, soit en $2025+12=2037$.
\end{questions}
\end{corrige}

\sectionnn{Vers les maths complémentaires }

\begin{exo}{Suite homographique}{Lycée St-Exupéry, Mantes-la-Jolie}{3}{30}

On considère la suite $(u_n)$ telle que $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[
u_{n+1}=\dfrac{-u_n-1}{4u_n+3}.
\]
On admet que $u_n$ est défini pour tout entier naturel $n$.

\begin{questions}
\item Calculer $u_1$.
\item On considère alors la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$
 par:
 \[
 v_n=\dfrac{1}{u_n+0,5}.
 \]
 \begin{questions}
 \item Calculer $v_0$.
 \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}-v_n=4$. 
 
 Quelle est la nature de la suite $(v_n)$?
 \item En déduire une expression de $v_n$ pour tout entier naturel $n$.
 \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, 
 \[
 u_n=\dfrac{1}{0,4+4n}-0,5.
 \]
 \item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n<-0,499$.
 \end{questions}
\end{questions}

\end{exo}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
u_1 & =\dfrac{-u_0-1}{4u_0+3}\\
& =\dfrac{-2-1}{4\times 2+3}\\
u_1& =-\dfrac{3}{11}.
\end{aligned}$

\item 
\begin{questions}
\item $\begin{aligned}[t]
v_0&=\dfrac{1}{u_0+0,5}\\
&=\dfrac{1}{2,5}\\
&=0,4.
\end{aligned}$

\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
v_{n+1}-v_n & =\dfrac{1}{u_{n+1}+0,5}-\dfrac{1}{u_{n}+0,5}\\
& =\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-1}{4u_n+3}+0,5}-\dfrac{1}{u_{n}+0,5}\\
& =\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-1+0,5(4u_n+3)}{4u_n+3}}-\dfrac{1}{u_{n}+0,5}\\
&=\dfrac{4u_n+3}{u_n+0,5}-\dfrac{1}{u_{n}+0,5}\\
& =\dfrac{4u_n+2}{u_n+0,5}\\
& =\dfrac{4(u_n+0,5)}{u_n+0,5}\\
&=4.
\end{align*}

\item La suite $(v_n)$ est donc arithmétique de raison 4 et de premier terme $0,4$.

Ainsi, pour tout entier naturel $n$,
\[
v_n=v_0+n\times r=0,4+4n.
\]

\item Pour tout entier naturel $n$, $v_n=\dfrac{1}{u_n+0,5}$.

Ainsi, 
\[
\dfrac{1}{v_n}=u_n+0,5
\]
et donc:
\[
u_n=\dfrac{1}{v_n}-0,5=\dfrac{1}{0,4+4n}-0,5.
\]

\item Soit $n \in \N$, on a :
\begin{align*}
u_n<-0,499 & \iff \dfrac{1}{0,4+4n}-0,5 <-0,499\\
& \iff \dfrac{1}{0,4+4n} <0,001\\
& \iff 0,4+4n>\numprint{1000}\\
& \iff n>\dfrac{\numprint{1000}-0,4}{4}.
\end{align*}
Or, 
\[
\dfrac{\numprint{1000}-0,4}{4}=249,9.
\]


L'entier cherché est donc $250$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{corrige}

\thumb
\AfficheCorrige
