\chapter{Croissance exponentielle}


\section{Introduction}

Lorsque les modèles mathématiques génèrent des valeurs augmentant ou diminuant de façon proportionnelle à la valeur précédente, on parle de croissance exponentielle.


\section{Suites géométriques}
\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{exointro}{Lycée Genevoix, Montrouge}
\begin{questions}
\item On considère la suite géométrique $u$ de raison $4$ et de terme initial\linebreak $u_0=1$.
\begin{questions}
\item Exprimer, pour $n \in \N$, $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
\item Calculer $u_1$ puis $u_2$.
\end{questions} 
\item On considère la suite $v$ définie, pour tout $n \in \N$, par $v_n=2 \times 3^n$.

La suite $v$ est-elle géométrique ? 
\item On considère la suite $w$ de terme initial $w_0=3$ et définie, pour tout $n \in \N$ par $w_{n+1}=5w_n$. 
\begin{questions}
\item Calculer $w_1$ et $w_2$.
\item Donner la nature de la suite $w$ et préciser la raison.
\item En déduire, pour tout $n \in \N$, une expression de $w_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer $w_{4}$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{exointro}

\begin{defin}[suite géométrique]
Une suite $u$ est \textit{géométrique} lorsqu'il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=q \times u_n$.

$q$ est appelé la \textit{raison} de la suite.
\end{defin}

\begin{Exemple}
la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n \in \N$,
\[
u_{n+1}=2,5u_n
\]
est une suite géométrique de premier terme $u_0=2$ et de raison $2,5$.
\end{Exemple}

\begin{Remarque}
une suite est donc géométrique si tout terme se déduit du terme précédent en le multipliant par un même nombre réel $q$.
\end{Remarque}

\begin{thm}[formule explicite]
Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ alors, pour tout entier naturel $n$, 
\[
u_n=u_0 \times q^n.
\]
\end{thm}

\begin{Exemple}
soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $r=2$ alors, pour tout entier $n$, $u_n=5\times 2^n$.
\end{Exemple}

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item Comme pour les suites arithmétiques, les suites géométriques peuvent être définies à partir du rang 1, 2, ...

\item Si $u$ est une suite géométrique de raison $q$, alors pour tous entiers naturels $n$ et $p$, on a:
\[
u_n=u_p \times q^{n-p}.
\]
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{prop}[représentation graphique et sens de variation]
$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q>0$ et de premier terme \textit{positif}.
\begin{itemize}
\item Dans un repère orthogonal, une suite géométrique $u$ se représente par un nuage de  points de coordonnées $(n;u_n)$ qui suivent une évolution exponentielle.
\item Si $0<q<1$ alors $(u_n)$ est décroissante.
\item Si $q>1$ alors $(u_n)$ est croissante.
\item Si $q=1$ alors $(u_n)$ est constante.
\end{itemize}
\end{prop}
\enlargethispage*{\baselineskip}

\vspace*{-1em}
\begin{Remarque}
les suites géométriques correspondent à des croissances dites \og exponentielles \fg{}. Elles croissent de plus en plus vite si $q>1$, et elles décroissent de plus en plus lentement si $0<q<1$.
\end{Remarque}

\textit{Exemples:}

\includegraphics{000_04-crs-suiteGeom}


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item \begin{questions}
\item Pour $n \in \N$,
\[
u_{n+1}=4u_n.
\]

\item 
\begin{itemize}
\item $u_1=4\times u_0=4 \times 1=4$,
\item $u_2=4\times u_1=4 \times 4=16$.
\end{itemize}
\end{questions} 

\item  $v$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=2$ et de raison $3$. 
\item 
\begin{questions}
\item  
\begin{itemize}
\item $w_1=5w_0=5 \times 3 =15$,
\item $w_2=5 \times w_1=5 \times 15=75$.
\end{itemize}

\item $w$ est une suite géométrique de raison $q=5$ et de premier terme $w_0=3$ puisqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant\linebreak par $5$.

\item Pour tout $n \in \N$, 
\[
w_n=w_0 \times 5^n=3\times 5^n.
\]

\item $w_{4}=3 \times 5^4=1875$.
\end{questions}
\end{questions}
\end{solintro}

\newpage

\section{Fonctions exponentielles}

\begin{exointro}{Lycée Genevoix, Montrouge}
\begin{questions}
\item Simplifier les expressions suivantes :
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $A=\dfrac{1,1^3\times1,1^{7,1}}{2,2}$
\item $B=\dfrac{(2,3^5)^{0,1}}{2,3^{4}}$
\end{multicols}

\item $C=\left(3^x+4\right)\left(3^x-4\right)$
\end{questions} 

\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=2^x$.
\begin{questions}
\item Indiquer le sens de variations de la fonction $f$.
\item Compléter le tableau en arrondissant à $10^{-3}$ :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|L|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline\tabulartitle
$x$ & 0&0,5& 1& 1,5& 2\\
\hline
$f(x)$&&&&&\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{questions}
\end{questions}
\end{exointro}

\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{defin}[fonction exponentielle de base $a$]
Soit $a>0$. La fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=a^x$ est appelée \textit{fonction exponentielle de base a}
\end{defin}

\begin{Exemple}
la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=1,5^x$ est la fonction exponentielle de base $1,5$.
\[
f(0)=1,5^0=1\qquad\text{et}\qquad f(1)=1,5^1=1,5.
\]
Pour calculer les valeurs de $a^x$, on utilise la touche\ \T{a$^\text{x}$}.
\end{Exemple}

\begin{Remarques}
\begin{itemize}
\item Lorsque $x$ est un nombre entier, $a^x$ correspond à une puissance de $a$.
\item Cette fonction est le prolongement à tout réel $x$ de la suite géométrique $(u_n)$ où, pour tout entier  naturel $n$, $u_n=a^n$.
\end{itemize}
\end{Remarques}

\begin{prop}[propriétés algébriques]
$a$ et $b$ désignent des nombres réels strictement positifs, $x$ et $y$ des nombres réels positifs.
\begin{itemize}
\item $a^0=1$\vspace*{-0.5em}
\begin{multicols}{3}
\item $a^x \times a^y =a^{x+y}$
\item $a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$
\item $(a^x)^y=a^{xy}$
\item $\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
\item $(ab)^x=a^x \times b^x$
\item $ \left( \dfrac{a}{b}  \right)^x=\dfrac{a^x}{b^x}$
\end{multicols}
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{Exemples}
\begin{itemize}
\begin{multicols}{3}
\item $3^{1,3} \times 3^5=3^{6,3}$;
\item $\dfrac{3^{1,5}}{3^{0,8}}=3^{0,7}$;
\item $(3^{3,2})^{1,5}=3^{4,8}$.
\end{multicols}
\end{itemize}
\end{Exemples}

\begin{prop}[représentation graphique et sens de variation]
Soit $a$ un réel strictement positif.

Sur l'intervalle $[0;+\infty[$ la fonction exponentielle de base $a$ est :
\begin{itemize}
\item croissante lorsque $a>1$.
\item constante lorsque $a=1$.
\item décroissante lorsque $0<a<1$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{Exemple}
soient $f(x)=1,6^x$, $g(x)=1^x$ et $h(x)=0,3^x$.
\Par \Par
\begin{center}
\includegraphics{000_04-crs-FctExp}
\end{center}
\end{Exemple}

\begin{Remarque}
les fonctions exponentielles permettent de modéliser des \textit{situations continues}(variable réelle) à \textit{croissance(ou décroissance) exponentielle}.
\end{Remarque}

\enlargethispage*{5em}
\begin{solintro}
\begin{questions}
\item 
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $\begin{aligned}[t]
A & = \dfrac{1,1^3\times 1,1^{7,1}}{2,2}\\
  & = \dfrac{1,1^{3+7,1}}{2\times 1,1}\\
  & = \dfrac{1,1^{10,1-1}}{2}\\
  & = \dfrac{1,1^{9,1}}{2}.
\end{aligned}$

\item  $\begin{aligned}[t]
B & = \dfrac{(2,3^5)^{0,1}}{2,3^{4}}\\
  & = (2,3)^{5\times 0,1}\times 2,3^{-4}\\
  & = (2,3)^{0,5-4}\\
  & =(2,3)^{-3,5}.
\end{aligned}$
\end{multicols}
\vspace*{-3em}
\Break

\item $\begin{aligned}[t]
C & = \left(3^x+4\right)\left(3^x-4\right)\\
  & \text{(on reconnait l'identité remarquable }(a+b)(a-b)=a^2-b^2)\\
  & = (3^x)^2-4^2\\
  & = 3^{2x}-16.
\end{aligned}$
\end{questions} 

\item 
\begin{questions}
\item  $f(x)$ est de la forme $a^x$ avec $a=2$ ($a>1$) donc $f$ est strictement croissante sur $\R_+$.

\item \begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|L|*{6}{Z{>{\centering\arraybackslash}X}|}}
\hline\tabulartitle
$x$&0& 0,5& 1& 1,5& 2\\
\hline
$f(x)$&1&1,414&2&2,828&4\\
\hline
\end{tabularx}

\end{center}
\end{questions}
\end{questions}
\end{solintro}

\section{Racine n-ième}

\begin{defin}[racine n-ième]
Soit $a$ un réel strictement positif.

L'équation $x^n=a$ d'inconnue $x$ admet une \textit{unique solution réelle positive}: 
\[
x=a^{\tfrac{1}{n}}.
\]
$a^{\tfrac{1}{n}}$ s'appelle la \textit{racine n-ième} de $a$, notée aussi $\sqrt[n]{a}$.
\end{defin}

\begin{Exemple}
la solution réelle positive de l'équation $x^3=7$ est $x=7^{\tfrac{1}{3}}=\sqrt[3]{7}$.
\end{Exemple}

\begin{Remarque}
en particulier, la solution réelle positive de l'équation $x^2=a$ est:
\[
x=a^{\tfrac{1}{2}}=a^{0,5}=\sqrt{a}.
\]

\end{Remarque}

\section{Taux d'évolution moyen}
\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{exointro}{Lycée Louis Vincent, Metz}
En France, la proportion de déchets recyclés, exprimée en pourcentage des déchets d'emballages ménagers, est passée de 50\% en 2004 à 71\% en 2024.
\begin{questions}
\item Calculer, en pourcentage, le taux d'évolution de la proportion de déchets recyclés entre 2004 et 2024.
\item Calculer, en pourcentage, le taux d'évolution annuel moyen de la proportion de déchets recyclés entre 2004 et 2024. Arrondir au centième.
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Évolutions successives}

\begin{prop}
Une valeur initiale V$_i$ subit plusieurs évolutions successives: $t_1$\% (de coefficient multiplicateur CM$_1$), suivie de $t_2$\%, suivie de...
\Par
\begin{center}
\includegraphics{000_04-crs-EvolSucc}
\end{center}
Le \textit{coefficient multiplicateur global} est le produit des coefficients multiplicateurs intermédiaires:
\[
\rm CM_{\text{global}}=CM_1\times CM_2\times \dots 
\]
\Par
Le \textit{taux d'évolution global} est donc égal à : 
\[
t_{\text{global}} = \text{CM}_{\text{global}} - 1.
\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
le nombre d'abonnés d'un quotidien augmente de 10 \% puis augmente de 20 \%.
Le taux d'évolution globale est de 32\%.

En effet, augmenter de 10 \% (resp. 20 \%) revient à multiplier par 1,1 (resp. 1,2) :
\[
\rm CM_{global}=1,1 \times 1,2=1,32.
\]
Le taux d'évolution global est :
\[
t_{\rm global}=\rm CM_{global}-1=1,32-1=0,32 .
\]
Donc le nombre d'abonnés a augmenté de 32\%.
\end{Exemple}


\subsection{Taux d'évolution moyen}

\begin{prop}
On suppose qu'au cours de $n$ périodes, le taux d'évolution global d'une quantité est $t_{\rm global}$.

Alors, le \textit{taux d'évolution moyen} par période est :
\[
t_{\rm moyen}=(1+t_{\rm global})^{\tfrac{1}{n}}-1.
\]
\end{prop}

\begin{Remarque}
\[
t_{\rm moyen}=\big({\rm CM_{global} }\big)^{\tfrac{1}{n}}-1.
\]
\end{Remarque}

\begin{Exemple}
un prix augmente de 69\% en deux mois.

On cherche le taux d'évolution mensuel moyen.

\Par

Le taux d'évolution global est : 
\[
t_{\rm global}=0,69.
\]

Il y a deux périodes considérées.

Le taux mensuel moyen est donc:
\[
(1+t_{\rm global})^{\tfrac{1}{2}}-1=(1+0,69)^{\tfrac{1}{2}}-1=0,3\,,
\]
ce qui correspond à une hausse mensuelle de 30\%.
\end{Exemple}

\begin{solintro}
\begin{methode}
Soit une quantité qui passe d'une valeur initiale $V_i$ à une valeur finale $V_f$.
\begin{itemize}
\item Le \textit{coefficient multiplicateur global} est égal à :
\[
{\rm CM_{global} } = \dfrac{V_f}{V_i}.
\]

\item Le \textit{taux d'évolution global} vérifie l'égalité :
\[
1+t_{\rm global}= {\rm CM_{global}}.
\]

\item Le \textit{taux d'évolution moyen} est le taux qui appliqué $n$ fois, donnerait la même évolution globale. Il vérifie l'égalité :
\[
(1+t_{\rm moyen})^n= {\rm CM_{global}}.
\]
\end{itemize}
\end{methode}

\begin{questions}
\item On calcule le coefficient multiplicateur global:
\[
\rm CM_{global}=\dfrac{0,71}{0,5}=1,42.
\]

\item Le taux d'évolution annuel moyen $t_{\rm moyen}$ de la proportion de déchets recyclés entre 2004 et 2024 vérifie :
\begin{align*}
(1+t_{\rm moyen})^{10}=1,42 & \Rightarrow 1+t_{\rm moyen}=1,42^{\tfrac{1}{10}}\\
& \Rightarrow t_{\rm moyen}=1,42^{\tfrac{1}{10}}-1\\
& \Rightarrow t \approx \numprint{0,0357}.
\end{align*}

Le taux d'évolution annuel moyen est donc d'environ 3,57\%.
\end{questions}

\end{solintro}
